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1、高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 1 - / 6 第三章过关检测 (时间 :45 分钟 , 满分 :100 分 ) 一、选择题 ( 每小题 6 分, 共 48 分) 1.已知点A(-4,8,6),则点A关于y轴对称的点的坐标为( ). A.(-4,-8,6) B.(-4,-8,-6) C.(-6,-8,4)D.(4,8,-6) 答案 :D 2.若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且 (a+b) a, 则实数的值为 ( ). A.-1 B.0C.1 D.-2 答案 :D 解析 :a+b=(,1+,-1). 由(a+b) a, 知(a+b) a=0, 所以 1+
2、1=0, 解得= -2. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点 , 则 cos 1 DB ,CM( ). A. 1 2 B. 15 15 C. 2 3 D. 11 15 答案 :B 解析 : 设正方体棱长为1, 则| 1 DB |=3,|CM|= 5 2 , 而 1 DB CM=( 1 DADCDD ) 1 2 DACD =|DA| 2+ 1 2 DA CDDC 1 | 2 DADC | 2+ 1 DD 1 1 2 DADD CD=1+0+0- 1 2 +0+0=1 2 . 故 cos 1 DB ,CM= 1 1 1 15 2 15|5 3 2 DB CM DBCM . 4
3、.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为( ). A.65B. 65 2 C.4D.8 答案 :A 解析 :|a|=3,| b|=3, 而ab=4=|a|b|cosa,b, cosa,b= 4 9 , 故 sina,b= 2 465 1 99 , 于是以a,b为邻边的平行四边形的面积为 高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 2 - / 6 S= |a|b|sina,b=33 65 65 9 . 5.如图 , 在四面体ABCD中, 已知AB=b,AD=a,AC=c, 1 2 BEEC , 则DE等于 ( ). A.-a+2 3
4、b+1 3 c B.a+2 3 b+1 3 c C.a- 2 3 b+1 3 c D. 2 3 a-b+1 3 c 答案 :A 解析 : 1 3 DEDAABBEDAAB (ACAB)=-a+2 3 b+ 1 3 c . 6.在三棱锥P-ABC中, ABC为等边三角形 ,PA平面ABC, 且PA=AB, 则二面角A-PB-C的平面角 的正切值为 ( ). A.6B.3C. 6 6 D. 6 2 答案 :A 解析 : 设PA=AB=2, 建立空间直角坐标系, 平面PAB的一个法向量是m =(1,0,0),平面PBC的一个 法向量是n= 3 ,1,1 3 . 则 cos= 33 7 33 | |
5、|7 21 1 3 m n m nm n . 正切值tan=6. 7.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动 (O为原点 ), 则当QA QB取最小值 时, 点Q的坐标为 ( ). A. 4 4 4 , 3 3 3 B. 8 4 8 , 3 3 3 C. 8 8 4 , 3 3 3 D. 4 4 8 , 3 3 3 答案 :D 解析 : 由题意可知OQ=OP, 故可设Q(,2), 高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 3 - / 6 QAQB=6 2- 16+10=6 2 42 33 , = 4 3 时,QAQB取最小值 , 此时
6、Q的坐标为 4 4 8 , 3 3 3 . 8.如图 , 把等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角形状, 即使ABD和ACD所在平 面互相垂直 , 某同学得到下面四个结论: AD AC=0; BAC=60; 三棱锥D-ABC是正三棱锥 ; 平面ADC的法向量和平面ABC的法 向量互相垂直. 则正确的结论是( ). A.B.C.D. 答案 :B 二、填空题 ( 每小题 6 分, 共 18 分) 9.若向量a=(4,2,-4),b=(1,-3,2), 则 2a(a+2b)=. 答案 :32 解析 :2a(a+2b)=2|a| 2+4a b=236+4(-10)=32. 10.如图 ,PD垂
7、直于正方形ABCD所在平面 ,AB=2,E为PB的中点 ,cos= 3 3 .以D为原 点, 分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系, 则点E的坐标为. 答案 :(1,1,1) 11.已知直线AB,CD是异面直线 ,ACAB,ACCD,BDCD, 且AB=2,CD=1, 则异面直线AB与CD所 成角的大小为. 答案:60 解析 : 设AB与CD所成的角为, 则 cos=|cosAB,CD|= | AB CD AB CD . 由于 ABCD=(ACCDDB) CDAC 2 CDCDDBCD=0+1 2+0=1, cos= 11 212| AB CD AB CD . 由于
8、090, =60, 故异面直线AB与CD所成角的大小为60. 三、解答题 ( 共 3小题 , 共 34 分) 12.(10 分) 已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1) 求|2a+b|; (2) 在直线AB上, 是否存在一点E, 使得OEb?(O为原点 ) 高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 4 - / 6 解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|= 222 0(-5)5 =52. (2)OEOAAEOA+tAB=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2
9、)=(-3+t,-1-t,4-2t).若OEb, 则 OEb=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 解得t= 9 5 , 因此存在点E, 使得OEb, 此时E点坐 标为 6142 ,-, 555 . 13.(10 分 ) 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被平行四边形AEC1F所截而得到的,其 中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.求点C到平面AEC1F的距离. 解: 如图所示 , 以D为坐标原点 , 分别以DA,DC,DF所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系. 由题意 , 得A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3
10、). 设F(0,0,z), 四边形AEC 1F为平行四边形, 1 AFEC . (-2,0,z)=(-2,0,2). z=2.F(0,0,2). 则AE=(0,4,1),AF=(-2,0,2). 设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z), 则 AE4yz0, AF2x2z0 n n ? 4 , . zy zx 取z=1, 则n= 1 1,-,1 4 . 又 1 CC =(0,0,3), d= 1 |CC ? |34 33 |11 33 16 n n . 14.(14 分)(2011 四川高考 , 理 19) 如图 , 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, BAC=90,AB=AC=AA 1=
11、1.D 是棱CC1上的一点 ,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点, 且PB1平面BDA1. 高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 5 - / 6 (1) 求证 :CD=C 1D; (2) 求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; (3) 求点C到平面B1DP的距离. 解: 如图 , 以A1为原点 ,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A1xyz, 则A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1). (1) 设C1D=x, ACPC1, 11PD 1 CCx ACCDx . 由此可得D(0,1,x)
12、,P 0,1,0 1 x x , 1B A =(1,0,1), 1D A =(0,1,x), 1P 1,1,0 1 x B x . 设平面BA1D的一个法向量为n1=(a,b,c), 则 11 11 A Bac0, A Dbcx0. n n 令c=-1, 则n1=(1,x,-1). PB1平面BA1D, n1 1P B =1(-1)+x 1 1 x x +(-1)0=0. 由此可得x= 1 2 , 故CD=C1D. (2) 由(1) 知, 平面BA1D的一个法向量n1= 1 1,-1 2 . 又n2=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量, cos= 12 12 12 3 |3 1 2 n n n n . 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为 2 3 . 高中数学同步测控第三章过关检测新人教 A 版选修 2-1 - 6 - / 6 (3) 1 PB =(1,-2,0), 1 0,-1,2PD , 设平面B1DP的一个法向量n3=(a1,b1,c1), 则 3111 1 31 PBa2b0, c PDb0. 2 n n 令c1=1, 可得n3= 1 1,1 2 . 又 1 0,0, 2 DC , 点C到平面B1DP的距离d= 3 3 |DC?|1 |3 n n .
