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1、第五单元 平面向量与复数,第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1.向量的有关概念及其表示法,大小,方向,长度,模,0,1,e,2.向量的线性运算,三角形,平行四边形,ba,a(bc),三角形,a(b),3. 向量共线定理 非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .,ab,|a|,相同,相反,0,()a,aa,ba(a0),基础达标,1. (必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中，与向量AE相等的向量是 ，与向量BF共线的向量是 ，与向量CF的模相等的向量是 .,解析：由向量的相关定义结合正方
2、形的性质可知,2. (必修4P66习题6改编) 已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0， 则x= .,解析：原式可变形为5x5a3x3b0， 8x=-5a+3b，x=,3. 一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为 .,西南方向10 千米,4. (2011如东中学考试)已知ABC，若点M满 足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC= .,0,解析：由已知得,5. 已知e1,e2是不共线向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2, 若ab,则k= .,解析：ab，由向量共线等价条件得： ab(R)，即ke1e2(e1ke2)， (k)e1(1
3、k)e20， 又e1，e2不共线，由平面向量基本定理得 k1.,1,经典例题,题型一 平面向量的有关概念,【例1】给出下列五个命题: 两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若|a|=|b|,则a=b; 在ABCD中,一定有AB=DC; 若m=n,n=p,则m=p; 若ab,bc,则ac. 其中正确的序号是 .,分析,在正确理解有关概念的基础上，注意特殊 的情况，是解决本题的关键,解： 若两个向量起点相同，终点相同，则两 向量相等，但两个向量相等，不一定有相同 的起点和终点，所以不正确；|a|b|，但 a，b方向不确定，所以a，b不一定相等， 故不正确；零向量与任一非零向量都平行， 当b0
4、时，a与c不一定平行，故不正确 正确,【例2】如图,D、E、F分别为ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.,题型二 平面向量的线性运算,分析： 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢， 即用， ，来分别表示待求的向量,解析：,变式2-1 (2011南京师大附中期中考试)在如图所示的平面图形中，已知OA=a,OB=b,点A、B分别是线段CE、ED的中点.试用a,b表示CD.,连结AB，则AB为CDE的中位线 ba， 2(ba),解析：,【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b. 求证:A、B、D三点共线.,题型三 向量
5、的共线问题,分析： 用向量法证明A、B、D三点共线，可以利 用向量共线定理，得到 (或 等)， 说明直线BD和AB平行或重合；因为有 公共点B，所以只能重合，从而由向量共 线推出三点共线,解： 2a8b， 3(ab)， 2a8b3(ab)5(ab)， . 由向量共线定理得 ，又直线AB和BD有 公共点B，所以A、B、D三点共线,变式3-1 设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值.,解析： 2e1e2(e13e2)e14e2. 若A、B、D三点共线，则 ， 从而存在唯一实数，使 ， 即2e1ke2(e14e2)， 整理得(2)e1(k4)e2， e1、e2不共线， 解得 A、B、D三点共线时，k8.,链接高考,(2010湖北)已知ABC和点M满足 ,若存在实数m使得 成立，则m . 知识准备： 1. 要知道点M满足 ,说明点M为ABC的重心； 2. 要知道三角形重心的性质，即重心为中线的一个三等分点； 3. 要知道三角形中线所在向量的性质:若AD为边BC上的中线，则 .,由 知，点M为ABC的重心， 设点D为底边BC的中点，则 所以 ，故m=3.,解,
