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1、1.1.1变化率问题,人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数,微积分的创始人 牛顿，莱布尼兹,导数的产生1、由s=f(t)求速度和加速度。 2、求已知曲线的切线。 导数的作用：可以研究函数的增减性，变化快慢，最值问题，可以描述任何事物的瞬时变化率如效率、GDP、CPI增长率等等。 定积分的作用：可以求平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力做功等问题，积分在生活生产科研等很多领域都有广泛应用。,导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度,1.1.1变化率问题,人教版选修2-2第一章导数及其应用第1节变化率与导数,问题1 气球膨胀率,一、 变化率问题,问
2、题1 气球膨胀率,在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢?,气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是,若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么,当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了,气球的平均膨胀率为,随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.,当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?,思考,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (
3、单位:s) 存在函数关系:,播放,暂停,停止,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系,如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:,在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里,几何画板,平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，并不能反映每一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:,(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?,探 究,(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?,平均变化率:,式子,令x = x2 x1
4、 , y = f (x2) f (x1) ,则,称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.,平均变化率的定义：,1、式子中x 、 y 的值可正、可负，但 x的值不能为0， y 的值可以为0,2、若函数f (x)为常函数时， y =0,理解,3、变式:,观察函数f(x)的图象平均变化率 表示什么?,思考,直线AB的斜率,例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间 3 , 1上的平均变化率 ；,(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。,(1)解： y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2,(2)解： y=f (x+x)- f (x) =2x x+(x )2,练习,1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x,D,2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x,A,练习,小结：,1.函数的平均变化率,2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：f=y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：,谢谢 再见,
