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1、第十一章,无穷级数,本章用到有关数列极限的一些知识,1。单调有界数列必收敛；,2。如果一数列收敛于S，那么，其任一子数列均收敛于S。,3。,2. 级数的收敛与发散:,对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。,观察如下级数：,（1）,（2）,（3）,（4）,级数（1），（2）有确定的值，分别为2和0，级数（3），（4）无确定的值。因此，称级数（1），（2）是收敛的，级数（3），（4）是发散的。,从而，常数项级数收敛（或发散）,注意到：,因此，,存在(或不存在)。,=,解,收敛,发散,发散,发散,综上,等比级数是一个常用的级数,解,在
2、用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时， “拆项”是常用的方法之一。,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,注意：,1。由性质2。可知，两收敛级数的和或差是收敛级数,2。两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如,3。一收敛级数和一发散级数的和或差必发散,用反证法：,证明:设,这说明在级数前面减去有限项不影响级数的敛散性，类似地可以证明在级数前面加上有限项也不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,级数收敛的必要条件只能用于判定级数
3、是否发散？不能用于判定级数是否收敛？,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,调和级数,是一个常用的级数，它是发散的。,作业：P1933（1）（3） 4 （1）（3）（5）,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。,即,因此，正项级数收敛有如下的定理,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知的级数作为参考级数.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数（等比级数）, P-级数, 调和级数（实际上就是P=1的P-级数）.,证明,4.比较审敛法的极限形式:,其中,是敛散性已知的用作比较的参考级数,证明,由比较审敛法的推论, 得证.,推论：,解,原级数发散.,故原级数收敛.,已用到罗必得法则,比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：,1。只适用于判定正项级数的收敛性；,2。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；,常用的是等比级数和P级数。,3。技巧性较强。,
