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1、线性代数电子教案,编 制 主 讲,2010.05,陈 涛,宇宙之大 粒子之微 火箭之速 化工之巧 地球之变 生物之迷,无处不用数学,第 0 章 前 言,第一章 行 列 式,第二章 矩 阵,第三章 n维向量及其线性相关性,第四章 线性方程组,第五章 二 次 型,第 0 章 前 言,本课程的性质、作用和任务,学习线性代数的具体要求、重点和难点,线性代数的学习方法,本课程的性质、作用和任务,一、关于线性代数,线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在两千年前，即见于我国古代数学名著九章算
2、术，这使我们引以自豪。,由于线性代数在数学、力学、物理学和技术科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代数分枝中占居首要地位。,不仅如此，该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智能都是非常有用的。,本课程的性质、作用和任务,本课程的性质、作用和任务,时至今日，多种专业人员都需要学习线性代数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题(不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而由于电子计算机科学的高度发展，
3、线性化的问题又可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。,1、具体与抽象 线性代数运用所谓公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理解深透。,本课程的性质、作用和任务,2、特殊与一般 就我们研究问题来说，或者说就我们的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。数学更
4、不例外。对于解析几何中的二次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化标准形的一些具体的直观的思想并将它移植到我们更一般的n维抽象空间上来。,本课程的性质、作用和任务,3、计算与论证 计算是按一定公式、法则机械地进行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。,4、教材体系 不同教本采用不同体系，如线性方程组、
5、行列式、矩阵-，各书出现的先后不同，起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加了困难。,本课程的性质、作用和任务,学习线性代数的具体要求、重点和难点,1、行列式,(1)掌握n阶行列式的概念； (2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式； (3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解“整”的线性方程组。,重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字母行列式的计算。,2、矩 阵,(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质； (2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件； (3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理； (4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等矩阵与可逆矩阵的
6、关系及其用初等变换求逆矩阵的理论与方法。,重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,3、n维向量及其线性相关性,学习线性代数的具体要求、重点和难点,（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关向量组和向量组的秩； （2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。,学习线性代数的具体要
7、求、重点和难点,（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的概念，掌握内积的概念。,重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。,4、线性方程组,(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法； (2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩； (3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理； (4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；,重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法及有解判定法。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,4、对称矩阵与二次型,(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之
8、间的一一对应关系； (2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型； (3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法； (4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义； (5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法； (6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角化的条件。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。 难点是惯性定理及正交法。,学习线性代数的具体要求、重点和难点,线性代数的学习方法,1、攻克“抽象化”堡垒 2、占领“一般性”阵地 3、增强论证能力 4、掌握全局和局
9、部的关系,第一章 行 列 式,行列式及其性质,克莱姆法则,教学目的:,重 点:,难 点：,学时数：,通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的概 念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解“整” 线性方程组.,行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。,高阶行列式及字母行列式的计算。,6学时,第一章 行 列 式,一、2、3阶行列式的定义：,引进符号：,并称之为二阶行列式。其中,i行标；j列标,第一章 行 列 式,1.1 行列式及其性质,同理，符号：,称为三阶行列式。,第一章 行 列 式,二、2 、3阶行列式与线性方程组的关系,设有两个未知数的线性方程组：,其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该线性方程
10、组的系数行列式，记为D,(1.1),第一章 行 列 式,即：,又记：,利用消元法解(1.1)得：,第一章 行 列 式,三、n阶行列式的定义,除前面介绍的二、三阶行列式的完全展开式外，高阶行列式更适合用按列展开。即：,定 义：一阶行列式定义为|a11|=a11；当n2时，假定n-1阶行列式已定义，则 n 阶行列式定义为：,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,其中元素aij的余子式是指：在Dn中去掉aij所在的行和列、剩下元素构成的一个n-1阶行列式。记为Mij,元素aij的代数余子式,或,可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即,第一章 行 列 式,Th1：n阶行列式|Dn|
11、等于它的第一行元素与它们对应的代数余子式的乘积之和。,证明：用数归纳法,（1）n=2时，显然成立,（2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。,其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有：,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,代入（*）得：,第一章 行 列 式,四、行列式的性质（以三阶行列式为例）,性质1：行列式转置后，其值不变。,设,则,第一章 行 列 式,性质 2：,互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号。,推论 1：行列式D中有两行（列）的对应元素完全相同，则这个行列式的值为零。,性质 3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式符号外。,第一章 行 列
12、式,推论 2：若行列式有一行（列）的元素全为零，则这个行列式的值为零。 推论 3：若行列式有一行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。,性质 4：若行列式某一行（列）的元素加上另一行（列）相应元素的k倍，则该行列式的值不变。,第一章 行 列 式,性质5：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1项、第2项，其它位置的元素不变。,性质6：行列式D等于它任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和。,性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子的乘积子和为零。,第一章
13、 行 列 式,例1：计算下三角行列式,的值。,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,解：按第一行展开得：,第一章 行 列 式,例2：计算,的值。,第一章 行 列 式,解一：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得：,第一章 行 列 式,解二: 利用Mathematica软件,In1:=,Out1:=,In2:=,Out2:=,第一章 行 列 式,例3：计算,的值,第一章 行 列 式,解一：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,解二：利用Mathematica软件,In：=,Out：=,第一章 行 列 式,例4：计算,的值。,第一章 行
14、列 式,解：In：=,Out：=,第一章 行 列 式,例5： 证明n阶行列式:,第一章 行 列 式,证:,等式左边第n列乘x加到第n-1列,(所得结果的)第n-1列乘x加到第n-2列, , 第2列乘x加到第1列得:,左=,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,例6 证明范德蒙行列式(n2),第一章 行 列 式,证,n = 2:,设对于n-1阶结论成立，对于n阶：,（逐行减去上面相邻行的 倍）,第一章 行 列 式,n-1阶范德蒙行列式,第一章 行 列 式,例7：利用范德蒙行列式计算:,第一章 行 列 式,解原式=,第一章 行 列 式,例8：计算下列n阶行列式:,第一章 行
15、列 式,解:,从第二列起,以后各列加到第一列得:,原式=,第一章 行 列 式,例9：计算下列n阶行列式;,第一章 行 列 式,解:,第n-1列加第n列的一倍, 第n-2列加第n-1列的一倍,得:,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,例10 计算,解：,（加边法）,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,1.2 克莱姆法则,对于2、3阶时的克莱姆法则，可推广到n阶的情况。,设n个未知数、n个方程的线性方程组为：,（I）,第一章 行 列 式,记系数行列式为,另外记,第一章 行 列 式,Th1.2（克莱姆法则）：若方程组（I）的系数行列式D0，则（I）有唯一解：,证明：,分别
16、用,乘方程组（I）的第1、第2、第n个方程，然后相加得：,第一章 行 列 式,据性质6，7有：,（j=1，2，,n） (II),因(I)的解必是(II)的解，而(II)仅有唯一解xj=Dj/D, 将其唯一解代入(I)验证也是(I)的解。所以原方程有唯一解。,第一章 行 列 式,拉普拉斯定理,1、行列式D的k阶子式M：,任选D中k行k列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个k阶行列式。,2、M的余子式N：,划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序排成的一个n-k阶行列式。,第一章 行 列 式,3、M的代数余子式A：,在 N 之前冠以一个符号，符号由下式决定,其中,表示 M 在D中的行标和列标。,第一章 行 列 式,如：,第一章 行 列 式,第一章 行 列 式,拉普拉斯定理：
