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1、概率论与数理统计复习,随机事件及其概率,一、主要内容： 1、随机事件的定义、关系及其运算 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义） 3、随机事件概率的计算 注意利用： (1)、概率的加法公式 (2)、概率的性质 (3)、条件概率公式 (4)、乘法公式 (5)、全概率公式 (6)、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式,二. 应记忆的公式 德莫根律 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 相互独立事件的概率计算公式,将3个球随机地放入4个盒子中，求任意一个盒子有3个球的概率.,例2,解,例3,有3只盒子，甲盒中装有2支红钢笔，4支蓝钢笔，乙盒中装有4支红钢笔，2
2、支蓝钢笔，丙盒中装有3支红钢笔，3支蓝钢笔，今从中任取一支，设到3只盒中取物的机会相同，求取出的钢笔是红钢笔的概率。,解,设 A 表示取到的一支钢笔为红色笔，Bi 分别 表示在甲、乙、丙盒中取钢笔，i=1，2，3,则 P(Bi）=1/3，,则由全概率公式,社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调 查结果是这三类居民分别占总户数的10%，60%， 30%，而银行存款在一万元以上的户数在这三类居民 中分别为100 %，60%，5% 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率。 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户属中等收入家庭的概率.,例4,1.由全概率公式知,2. 由贝叶斯公式知,设
3、 Ai 分别表示“高、中、低收入家庭”的事件(i=1，2，3); B 表示“存款在一万元以上的户数”,解,随机变量及其分布,一 、主要内容 (一) 一维随机变量及其分布 1. 随机变量的分布函数及其性质 2. 离散型随机变量及其分布函数 3. 常见离散型随机变量及其分布律 (1)两点分布 (2)二项分布 (3)泊松分布 4. 连续型随机变量及其分布函数,5.常见连续型随机变量及其分布密度 (1)均匀分布 (2)正态分布 (3)指数分布 (二) 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量的定义 2. 二维随机变量的分布函数 3. 二维离散型随机变量及其分布律 4. 二维连续型随机变量的分布密度 5
4、. 边缘分布, 6. 随机变量的独立性,7.随机变量简单函数的分布 1)一维随机变量函数的分布 2)二维随机变量函数的分布 二、应记忆的公式 (1) (2)计算公式: 离散型 连续型,(5)正态分布概率的计算公式,(4)常见随机变量的分布律或分布密度,三、例题分析,例1,从一批产品包括10件正品, 3件次品中重复抽取,每次取1件直到取得正品为止，若每件产品被抽到的机会相同, 求抽取次数 X 的分布律.,P(X=1)=10/13, P(X=2)=(3/13) *(10/12)=5/26 P(X=3)=(3/13)*(2/12)*(10/11)=5/143 P(X=4)= (3/13)*(2/12
5、)*(1/11)*(10/10)=1/286 故 X 的分布律为,解,例2,解,设随机变量 X 的分布函数为 求:（1）A 的值； （2）X 落在（0.2, 0.6）内的概率； （3）X 的密度函数 f（x）.,例3,解,设随机变量 X 的分布律为,求 Y=X 2 的分布律.,由 X 的分布律有 Y 取值为 4,1,0,9 PY=0=PX=0=1/5 PY=1=PX= -1+PX=1=1/6+1/15=7/30 PY=4=PX=2+PX= -2=0+1/5=1/5 PY=9=PX=3+PX= -3=11/30+0=11/30,故 Y 的分布律为,例4 设随机变量 X 的分布密度为,试求X 的分
6、布函数 F(x).,解,当 x 0 时，,例4,解,查表得 c/2=1.96，即 c = 3.92.,例5,解,（X，Y）的联合分布律为,求（1）X 的边缘密度；（2）Y 的边缘密度.,解,例6,随机变量的数字特征,一 、主要内容 1. 随机变量的数学期望 2. 随机变量函数的数学期望 3. 数学期望的性质 4. 随机变量的方差 5. 随机变量函数的方差 6. 随机变量方差的性质,二、应记忆的公式 1.随机变量的数学期望和方差的计算公式； 2.随机变量函数的数学期望和方差的计算公式； 3.常见7种随机变量的数学期望及方差 （1）两点分布 （2）二项分布 （3）泊松分布 （4）均匀分布 （5）正
7、态分布 （6）指数分布,三、例题分析,例1,设随机变量 X 的分布律为,求 E(X)，E(3X 2 + 5).,解,或,例2,设随机变量 X 的概率密度为,解,求 Y=2X 的数学期望.,数理统计的基本概念与抽样分布,一 、主要内容 1. 总体和样本 2. 样本的分布 3. 统计量和样本矩（样本均值，样本方 差，样本的原点矩和中心矩） 4. 经验分布函数 5. 三大分布的定义及其性质,二、典型例题,例1,设总体 X 的数学期望为E(X)8，方差 为D(X)2， X1 , Xn 为来自 X 的样本, 则,8,2/n,2,例2,解,由已知，,所以,从而,参数估计,一 、主要内容 1参数点估计的概念，求点估计的两种 方法：矩估计和极大似然估计方法； 2估计量的评选标准：无偏性、有效 性、一致性； 3. 正态总体的均值与方差的置信区间.,二、典型例题,例1,设总体的概率密度为,解,(2)似然函数为,某厂从当天生产的产品中随机抽取10 个进 行寿命测试，得数据如下： 1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 设产品寿命服从正态分布，求当天生产的全部产 品的平均寿命 的置信水平为0.95 的置信区间.,例2,解,故置信区间为,
