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1、多元函数微分学 习题课,一、主要内容,平面点集 和区域,多元函数概念,多元函数 的极限,极 限 运 算,多元函数 连续的概念,多元连续函数 的性质,全微分 概念,偏导数 概念,方向导数,全微分 的应用,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,高阶偏导数,隐函数 求导法则,微分法在 几何上的应用,多元函数的极值,1、多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,存在性,定义，夹逼定理,不存在,特殊路径、两种方式,求法,运算法则、定义验证、夹逼定理,消去致零因子、化成一元极限等,2、多元函数的连续性,3、偏导数概念,定义、求法,偏导数存在与连
2、续的关系,高阶偏导数纯偏导、混合偏导,4、全微分概念,定义,可微的必要条件,可微的充分条件,利用定义验证不可微,多元函数连续、可导、可微的关系,5、复合函数求导法则,“分道相加，连线相乘”,法则的推广任意多个中间变量，任意多 个自变量,如何求二阶偏导数,6、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,7、隐函数的求导法则,公式法,直接法,全微分法,8、微分法在几何上的应用,(1)空间曲线的切线与法平面,()曲面的切平面与法线,求直线、平面的方程,定点（过点）、定向（方向向量、法向量）,曲线：参数式，一般式给出,曲面：隐式、显式给出,求隐函数偏导数的方法
3、,10、多元函数的极值,9、方向导数与梯度,定义,计算公式（注意使用公式的条件）,梯度的概念向量,梯度与方向导数的关系,极值、驻点、必要条件,充分条件,最值,条件极值，目标函数、约束条件,构造 Lagrange 函数,二、典型例题,例1,解,例2 已知,求,解,例3 已知,求,解,例4,解,例5,解,于是可得,求,解一,记,则,解二,方程两边对 x 求偏导,例6 设,由轮换对称性,两边取全微分,即,解三,设有方程组,求,解,两边对 x 求导,这是一个以,为未知量的三元一次方程组,若系数行列式,（ Vandermond行列式）,例7,则有,在半径为R的圆的一切内接三角形中，求其面积最大者,解,如
4、图若以 x ,y , z 表示三角形的三边所对的圆心角，则,三角形的面积,例8,问题就是求A在条件,下的最大值,x,y,z,记,例9 已知,满足方程,试选择参数,通过变换,使原方程变形所得新方程中没有 v 对 x , y 的一阶偏导数,解,代入方程,消去,令,解得,因,故变换后的方程为,例10,解,例11,解,分析:,得,证,设,法线,切平面,即,例12,切平面在三个坐标轴上的截距分别为,故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为,是一个常量,例13 设 y = f ( x ,t ) 而 t 是由 F (x ,y ,t) 确定的 x ,y 的函数 ，试证明,证一,方程组,确定了两个一元隐函数
5、y =y (x) , t =t ( x ),两边分别对 x 求导得,解得,证二,本题主要是弄清楚函数关系 ，具体求导则 很简单，,初看起来似乎 y 是 x 的显函数y = f ( x ,t ) ， 但由F ( x , y , t ) =0 可得 t = t ( x , y ) ，代入 y = f ( x ,t ) 得 y = f x , t ( x , y ) 这是y = y ( x ) 的隐函数表示形式,按题意t = t ( x , y ) 满足F ( x , y , t ) =0,故,由t = t ( x , y ) 得,又t = t ( x , y ) 满足y = f ( x ,t ) ，故,从而,解得,证三,两边取全微分并移项得,消去 dt 得,解得,证四,曲面 F ( x , y , t ) =0 及 y = f ( x ,t ) 在（x , t , y ) 空间中的法向量分别为,是两曲面的交线 L 的切向量,L 的方程为,故L 的切向量为,即,解得,
