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1、一、直角坐标系中的累次积分法,二、极坐标系中的累次积分法,第二节 二重积分的计算方法,第十章重 积 分,设 A(x)表示过点 x,任取子区间 x, x + dx a, b.,且垂直 x 轴的平面,与曲顶柱体相交的截面的面积，,1. 设积分区域 D 可用不等式组表示为,如图所示，,选 x 为积分变量，,x a,b ，,一、直角坐标系中的累次积分法,则曲顶柱体体积 V 的微元 dV 为,式中面积函数 A(x) 是一个以区间 1(x) , 2(x) 为底边、,以曲线 z= f (x,y)(x 是固定的)为曲边的曲边梯形，,其面积可表示为,公式称为先积 y (也称内积分对 y)后积 x (也称外积分对
2、 x )的累次积分公式.,它通常也可写成,这结果也适用于一般情形.,2. 设积分区域 D 可用不等式组表示为,如右图，则,首先在 xy 平面上画出所围成的区域 D .,若是先积 y 后积 x 时，,得投影区间a, b，,则把区域 D 投影到 x 轴上，,在 a, b 上任意确定一个 x ，,这时 a 就是对 x 积分(外积分)的下限，,b 就是对 x 积分(外积分)的上限；,过 x 画一条与 y 轴平行的直线，,假定它与区域 D 的边界曲线(x = a, x = b 可以除外)的交点总是不超过两个(称这种区域为凸域).,把二重积分化为累次积分，其上下限的定法可用如下直观方法确定：,且与边界曲线
3、交点纵坐标分别为 y = 1(x) 和 y = 2(x)，,如果 2(x) 1(x)，,那么 1(x)就对 y 积分(内积分)的下限，,2(x) 就是对 y 积分(内积分)的上限.,类似地，先积 x (内积分)后积 y (外积分)时的定限方法如右图所示.,如果区域不属于凸域，把 D 分成若干个小区域，使每个小区域都属于凸域，那么 D 上的二重积分就是这些小区域上的二重积分的和.,两种不同次序的累次积分，,其中 D 是由 x = a,x = b,y = c,y = d,(a b, c d) 所围成的矩形区域 .,解,画出积分区域 D 如图.,如果先积 y 后积 x，,则有,如果先积 x 后积 y
4、 ，则可得,例 2,试将 化为两种不同次序的累次 积分，,其中 D 是由 y = x，y = 2 - x 和 x 轴所围成的区域.,解 首先画出积分区域 D 如图，,并求出边界曲线的交点(1, 1)、(0, 0) 及 (2, 0).,如果先积 x 后积 y ， 则为,其中 D 是抛物线 y2 = x 与直线 y = x - 2 所围成的区域.,例 3,计算二重积分,解 画出积分区域 D 如图，,并求出边界曲线的交点 (1, -1) 及 (4, 2)，,由图可见，,先积 x (内积分) 后积 y (外积分)较为简便.,由定限示意图有,=,例 4,计算,其中 D 是由直线 y = x , y =
5、1 与 y 轴所围成 .,解 画出积分区域 D，,作定限示意图，,并求出边界曲线的交点 (1, 1) , (0, 0) 及 (0, 1)， 则,即 x = 常数和 y = 常数，,二、极坐标系中的累次积分法,在直角坐标系中，用平行于 x 轴和平行于 y 轴的两族直线，,把区域 D 分割成许多子域.,这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，,绝大多数都是矩形域(如图).,(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于 0. 所以不必考虑).,于是，图中阴影所示的小矩形 i 的面积为,因此， 在直角坐标系中的面积元素可记为,而二重积分可记为,和 r = 常数的两族曲线，,在极坐标系中，,我们可用 =
6、常数,和另一族圆心在极点的同心圆，,即一族从极点发出的射线,这些子域除了靠边界曲线的一些子域外，,把 D 分割成许多子域，,绝大多数都是扇形域(如图).,(当分割更细时，这些不规则子域的面积之和趋向于 0. 所以不必考虑).,于是图中所示的子域的面积近似等于,以 rd为长，dr为宽的矩形面积，因此在极坐标系中的面积元素可记为,于是二重积分的极坐标形式为,再通过变换,且边界方程为 r = r() ，如图，,实际计算中， 分两种情形来考虑:,1) 如果原点在积分域 D 内，,则二重积分的累次积分为,或写为, 分别是对 积分(外积分)的下限和上限，,则从原点作两条射线 = 和 = ( ),2) 如果
7、坐标原点不在积分域 D 内部，,(如图)夹紧域 D .,在 与 之间作任一条射线与积分域 D 的边界交两点，它们的极径分别为 r = r1()，r = r2()，,假定 r1( ) r2( )，,那么 r1( ) 与 r2( ) 分别是对 r 积分(内积分)下限与上限，,即,例 5,其中 D 是由圆 x2 + y2 = 2Ry 所围成的区域 .,并把 D 的边界曲线 x 2 + y2 = 2Ry 化为极坐标方程，,作射线 = 0 与 = 夹紧域 D .,解,在极坐标系中画出区域 D 如图，,即为,r = 2Rsin,与域边界交两点 r1 = 0，r2 = 2Rsin ，,在 0, 中任作射线,得,并把 D 的边界曲线化为极坐标方程， 即为,例 6,在极坐标系中，,计算二重积分,D 是由 x2 + y2 = R12,和 x2 + y2 = R22 (R1 R2 ) 所围成的环形区域在第一象限的部分.,解,在极坐标系中画出区域 D ，如图，,在 0 与 之间任作一射线与域 D 的边界交两点 r = R1 和 r = R2 ，,如果积分域 D 是整个环形，,显然有,r = R1,r = R2,作两条射线 = 0 与 =,夹紧积分域 D .,所以有,
