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1、8.1 匹配滤波器 8.2 最小差错概率接收准则 8.3 确知信号的最佳接收机 8.4 随相信号的最佳接收机 8.5 最佳接收机性能比较 8.6 最佳基带传输系统,第 8 章 数字信号的最佳接收,返回主目录,第8章 数字信号的最佳接收,8.1匹 配 滤 波 器 在数字通信系统中，滤波器是其中重要部件之一， 滤波器特性的选择直接影响数字信号的恢复。 在数字信号接收中， 滤波器的作用有两个方面， 使滤波器输出有用信号成分尽可能强； 抑制信号带外噪声，使滤波器输出噪声成分尽可能小，减小噪声对信号判决的影响。 ,对最佳线性滤波器的设计有两种准则： 一种是使滤波器输出的信号波形与发送信号波形之间的均方误
2、差最小，由此而导出的最佳线性滤波器称为维纳滤波器； 另一种是使滤波器输出信噪比在某一特定时刻达到最大，由此而导出的最佳线性滤波器称为匹配滤波器。 在数字通信中，匹配滤波器具有更广泛的应用。,当选择的滤波器传输特性使输出信噪比达到最大值时，该滤波器就称为输出信噪比最大的最佳线性滤波器。 设输出信噪比最大的最佳线性滤波器的传输函数为H(), 滤波器输入信号与噪声的合成波为 式中， s(t)为输入数字信号， 其频谱函数为S()。 n(t)为高斯 白噪声， 其双边功率谱密度为 。,由于该滤波器是线性滤波器，满足线性叠加原理，因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成，即 (8.1 - 2) 式中输
3、出信号的频谱函数为So()，其对应的时域信号为 ,滤波器输出噪声的平均功率为,在抽样时刻t0，线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为 使输出信噪比ro达到最大的传输函数H()就是我们所要求的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的问题，采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该问题。 施瓦兹不等式为 X()=KY*() 等式才能成立。 K为任意常数,令X()=H()， Y()=S()ejt0可得,根据帕塞瓦尔定理有,式中E为输入信号的能量。线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 根据施瓦兹不等式中等号成立的条件X()=KY*()， 可得不等式(8.1 - 10)中等号成立的
4、条件为 H()=KS*()e-jt0 式中，K为常数，通常可选择为K=1。S*()是输入信号频谱函数S()的复共轭。这就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数，该滤波器在给定时刻t0能获得最大输出信噪比。,这种滤波器的传输函数除相乘因子Ke-jt0外，与信号频谱的复共轭相一致，所以称该滤波器为匹配滤波器。 从匹配滤波器传输函数H()所满足的条件，我们也可以得到匹配滤波器的单位冲激响应h(t)：,即匹配滤波器的单位冲激响应为 式(8.1 - 16)表明，匹配滤波器的单位冲激响应h(t)是输入信号s(t)的镜像函数，t0为输出最大信噪比时刻。 对于因果系统， 匹配滤波器的单位冲激响应h(t)应满足
5、: ,t0 t0,必须有： t0 t0-t0 或 tt0,说明，对于一个物理可实现的匹配滤波器，其输入信号s(t)必须在它输出最大信噪比的时刻t0之前结束。也就是说，若输入信号在T时刻结束，则对物理可实现的匹配滤波器， 其输出最大信噪比时刻t0必须在输入信号结束之后，即t0T。 对于接收机来说，t0是时间延迟，通常总是希望时间延迟尽可能小，因此一般情况可取t0=T。 若输入信号为s(t)， 则匹配滤波器的输出信号为 为输入信号s(t)的自相关函数。,上式表明， 匹配滤波器的输出波形是输入信号s(t)的自相关函数的K倍。因此， 匹配滤波器可以看成是一个计算输入信号自相关函数的相关器，其在t0时刻
6、得到最大输出信噪比 romax= 。 由于输出信噪比与常数K无关，所以通常取K=1。 例 8 - 1设输入信号如下，试求该信号的匹配滤波器传输函数和输出信号波形。 , 其他 ,输入信号s(t)的频谱函数为,匹配滤波器的传输函数为,匹配滤波器的单位冲激响应为 取t0=T，则有, (2) 由式(8.1 - 21)可得匹配滤波器的输出为,其他,=,匹配滤波器的输出波形如图 8 - 3(c)所示。可见，匹配滤波器的输出在t=T时刻得到最大的能量 。,8.2 最小差错概率接收准则,8.2.1数字信号接收的统计模型 在数字信号的最佳接收分析中，我们不是采用先给出接收机模型然后分析其性能的分析方法，而是从数
7、字信号接收统计模型出发，依据某种最佳接收准则，推导出相应的最佳接收机结构，然后再分析其性能。 数字通信系统的统计模型。用统计特性来描述。 ,在数字通信系统中， 消息是离散的状态， 设消息的状态集合为 X=x1, x2, , xm (8.2 - 1) 若消息集合中每一状态的发送是统计独立的， 第i个状态xi的出现概率为P(xi)， 则消息X的一维概率分布为,X1 x2 xm P(x1) P(x2) P(xm),根据概率的性质有,若消息各状态x1, x2, , xm出现的概率相等，则有 (8.2 - 3),消息是各种物理量， 本身不能直接在数字通信系统中进行传输，因此需要将消息变换为相应的电信号s
8、(t)，用参数S来表示。将消息变换为信号可以有各种不同的变换关系，通常最直接的方法是建立消息与信号之间一一对应的关系，即消息xi与信号si(i=1, 2， ， m)相对应。 这样，信号集合S也由m个状态所组成，即,S=s1, s2, , sm 并且信号集合各状态出现概率与消息集合各状态出现概率相等，即 ,同时也有,若消息各状态出现的概率相等， 则有 (8.2 - 6) P(si)是描述信号发送概率的参数，通常称为先验概率， 它是信号统计检测的第一数据。 信道特性是加性高斯噪声信道，噪声空间n是加性高斯噪声。在前面各章分析系统抗噪声性能时，用噪声的一维概率密度函数来描述噪声的统计特性, 在本章最
9、佳接收中，为了更全面地描述噪声的统计特性，采用噪声的多维联合概率密度函数。噪声n的k维联合概率密度函数为 (8.2 - 7) 式中，n1, n2, , nk为噪声n在各时刻的可能取值。,若噪声是高斯白噪声， 则它在任意两个时刻上得到的样值都是互不相关的，同时也是统计独立的； 若噪声是带限高斯型的，按抽样定理对其抽样，则它在抽样时刻上的样值也是互不相关的， 同时也是统计独立的。根据随机信号分析，若随机信号各样值是统计独立的，则其k维联合概率密度函数等于其k个一维概率密度函数的乘积，即 式中， f(ni)是噪声n在ti时刻的取值ni的一维概率密度函数，,若ni的均值为零，方差为2n，则其一维概率密
10、度函数为 ,噪声n的k维联合概率密度函数为,根据帕塞瓦尔定理， 当k很大时有,信号通过信道叠加噪声后到达观察空间， 观察空间的观察波形为 由于在一个码元期间T内， 信号集合中各状态s1, s2, , sm 中之一被发送，因此在观察期间T内观察波形为 (i=1, 2, , m) 由于n(t)是均值为零， 方差为2n的高斯过程，则当出现信号si(t)时, y(t)的概率密度函数fsi(y)可表示为,fsi(y)称为似然函数，它是信号统计检测的第二数据。 根据y(t)的统计特性，按照某种准则，即可对y(t)作出判决， 判决空间中可能出现的状态r1, r2, , rm与信号空间中的各状态s1, s2,
11、 , sm相对应。 ,8.2.2最佳接收准则 在数字通信系统中，最直观且最合理的准则是“最小差错概率”准则。 由于在传输过程中，信号会受到畸变和噪声的干扰，发送信号si(t)时不一定能判为ri出现，而是判决空间的所有状态都可能出现。 我们以二进制数字通信系统为例分析其原理。 在二进制数字通信系统中，发送信号只有两种状态，假设发送信号s1(t)和s2(t)的先验概率分别为P(s1)和P(s2)，s1(t)和s2(t)在观察时刻的取值分别为a1和a2，出现s1(t)信号时y(t)的概率密度函数fs1(y)为,同理，出现s2(t)信号时y(t)的概率密度函数fs2(y)为,fs1(y)和fs2(y)
12、的曲线如图 8 - 5 所示。 若在观察时刻得到的观察值为yi，可依概率将yi判为r1或r2。在yi附近取一小区间a，yi在区间a内属于r1的概率为,图 8- 5 fs1(y)和fs2(y)的曲线图,yi在相同区间a内属于r2的概率为,可以看出， ,即yi属于r1的概率大于yi属于r2的概率。因此，依大概率应将yi判为r1出现。 由于fs1(y)和fs2(y)的单调性质，图 8 - 5 所示的判决过程可以简化为图 8 - 6 所示的判决过程。 ,图 8 6 判决过程示意图,根据fs1(y)和fs2(y)的单调性质， 在图 8 - 6 中y坐标上可以找到一个划分点y0。在区间(-, y0）， q
13、1q2；在区间(y0, )， q1q2。 根据图 8 - 6 所分析的判决原理，当观察时刻得到的观察值yi(-, y0)时，判为r1出现；若观察时刻得到的观察值yi(y0, )时，判为r2出现。 如果发送的是s1(t)，但是观察时刻得到的观察值yi落在(y0,)区间, 被判为r2出现，这时将造成错误判决，其错误概率为,同理， 如果发送的是s2(t)， 但是观察时刻得到的观察值yi落在(-, y0)区间, 被判为r1出现，这时也将造成错误判决，其错误概率为,此时系统总的误码率为,由式(8.2 - 21)可以看出， 系统总的误码率与先验概率、 似然函数及划分点 有关，,在先验概率和似然函数一定的情
14、况下，系统总的误码率Pe是划分点y0的函数。不同的y0将有不同的Pe，我们希望选择一个划分点y0使误码率Pe达到最小。使误码率Pe达到最小的划分点y0称为最佳划分点。y0可以通过求Pe的最小值得到。 即,(8.2 - 23),由此可得最佳划分点将满足如下方程:,式中y0即为最佳划分点。 因此，为了达到最小差错概率，可以按以下规则进行判决:,判为 r1( 即s1),判为 r2( 即s2),以上判决规则称为似然比准则。 在加性高斯白噪声条件下，似然比准则和最小差错概率准则是等价的。, 当s1(t)和s2(t)的发送概率相等时，即P(s1)=P(s2)时，则有 fs1(y)fs2(y), 判为r1(即s1) fs1(y)fs2(y), 判为r2(即s2) 上式判决规则称为最大似然准则，其物理概念是，接收到的波形y中，哪个似然函数大就判为哪个信号出现。 以上判决规则可以推广到多进制数字通信系统中，对于m个可能发送的信号，在先验概率相等时的最大似然准则为,fsi(y)fsj(y), 判为si(i=1, 2, , m; j=1, 2, , m; ij) 最小差错概率准则是数字通信系统最常采用的准则， 除此之外，贝叶斯(Bayes)准则、尼曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则、 极大极小准则等有时也被采用。,
