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1、第一讲,定积分的应用,一、 平面图形的面积 二、旋转体的体积 三、在经济上的应用,1、平面图形的面积,曲边梯形的面积,(1) 面积元素,(2) 面积元素,曲边梯形的面积,例2,解,1 两曲线的交点,2 选 x 为积分变量,(方法1),于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,(方法2) 代公式，得,太麻烦！,例3,解,两曲线的交点,选 为积分变量,2. 旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线称为旋转轴, G1 绕 x 轴旋转一周 所得旋转体的体积,则以 f (x) 为高，,以dx 为底的窄边矩形,平面图形G1 ：由连续曲线 y = f
2、 (x)，直线 x = a, x = b 及 x 轴 所围成的曲边梯形.,绕 x 轴旋转而成的圆柱体,情形1,的体积便是体积元素：,G1 绕 x 轴旋转 的旋转体的体积：,例4,解,直线 方程为,建立坐标系，如图.,连接坐标原点O及点P(h, R)的直线，直线x=h 及 x 轴围成一个直角三角形.,将它绕,x 轴旋转一周构成一个底半径为R，高为h的圆锥体，计算该圆锥体的体积.,以 dx 为底的窄边矩形绕 x 轴旋转而成的圆柱体的体积为,情形2,例 5,解,(1) 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积为,分别绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积之差.,这个图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积可以
3、看成平面图形 OABC 与 OBC,A,(2) 绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积,分析,(方法1),从而所求的体积为,(方法2),柱壳法，由公式,得,例6,已知某产品总产量的变化率为,求从第2天到第10天生产产品的总量.,解,所求的总产量为,3、定积分在经济中的应用,例7,设某种商品每天生产x单位时，固定成本为20元，边际成本函数为C(x)=0.4x+2(元/单位)，求总成本函数C(x)。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可全部售出，求总利润函数L(x)，并问每天生产多少单位时，才能获得最大利润。 解：变上限的定积分是被积函数的一个原函数， 可变成本就是边际成本函数在0, x上的定积
4、分。 又知 固定成本为20元，即C(0)=20, 所以每天生产x单位时总成本函数为：,设销售x单位商品得到的总收益为R(x)，则有R(x)=18x。 因为L(x)=R(x)-C(x)=-0.2x2+16x-20 所以L(x)=-0.4x+16=0，得x=40, 而L(40)=-0.40 所以每天生产40单位时才能获得最大利润。,求当该产品的生产从225个单位上升到400个单位时增加的收益.,例8,某产品的边际收益为,解,(1) 增加的收益为,从利润最大时再生产一百台，总利润 增加多少？,即从利润最大时的产量又多生产100台，总利润减少了 0.5 万元.,解,例9,某产品的总成本 C(x)(单位：万元)的边际成本为MC (x) = 1 (单位：万元/百台)，总收益R(x)(单位：万元)的边际收益 MR(x) = 5 x (单位：万元), 其中x 为产量，固定成本为1万元，问：,产量等于多少时总利润 P(x)最大；,(2) 从利润最大时再生产一百台，总利润增加多少？,解,(1) 依题设，有,总成本函数：,总收益函数：,总利润函数：,P(x),，得唯一驻点：,
