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1、,第七节,曲线的弯曲程度,与切线的转角有关,与曲线的弧长有关,主要内容:,一、 曲率及其计算公式,二、 曲率圆与曲率半径,7.2 平面曲线的曲率,第五章,一、曲率及其计算公式,在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,对应切线,定义,弧段 上的平均曲率,点 M 处的曲率,注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !,转角为,例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .,解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;,R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .,说明:,(1) 若曲线由参数方程,给出, 则,(2) 若曲线方程为,则,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和
2、曲线,处的曲率.,点击图片任意处播放暂停,说明:,铁路转弯时为保证行车,平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点,且 l R.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,离心力必须,连续变化 ,因此铁道的,曲率应连续变化 .,例2. 我国铁路常用立方抛物线,作缓和曲线,且 l R.,处的曲率.,其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点,解:,显然,例3. 求椭圆,在何处曲率最大?,解:,故曲率为,K 最大,最小,求驻点:,设,从而 K 取最大值 .,这说明椭圆在点,处曲率,计算驻点处的函数值:,最大.,三、 曲率圆与曲率半径,设 M 为曲线 C 上任一点 ,在点
3、,在曲线,把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的,曲率圆,( 密切圆 ) ,R 叫做曲率半径,D 叫做,曲率中心.,在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:,(1) 有公切线;,(2) 凹向一致;,(3) 曲率相同 .,M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使,设曲线方程为,且,求曲线上点M 处的,曲率半径及曲率中心,设点M 处的曲率圆方程为,故曲率半径公式为,满足方程组,的坐标公式 .,满足方程组,由此可得曲率中心公式,当点 M (x , y) 沿曲线,移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 ,相应的曲率中心,曲率中心公式可看成渐,曲线 C 称为曲线 G 的
4、渐伸线 .,屈线的参数方程(参数为x).,点击图中任意点动画开始或暂停,例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨,削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?,解: 设椭圆方程为,由例3可知, 椭圆在,处曲率最大,即曲率半径最小, 且为,显然, 砂轮半径不超过,才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.,例3,内容小结,1. 弧长微分,或,2. 曲率公式,3. 曲率圆,曲率半径,曲率中心,思考与练习,1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,2. 求双曲线,的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?,解:,则,利用,作业,第八节,P177 4 ； 5 ； 7 ； 8 ； *9,
