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1、一、频率及其性质,三、几何概率,二、概率的古典定义,第二节随机事件的概率,随机事件在一次试验中可能发生也可能不发生，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.,概率是随机事件 发生可能性大小 的度量,事件发生的可能性 越大，概率就 越大！,例如，了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额.,一、频率及其性质,定义,次数为,频率.,易见,频率具有下述基本性质:,1.,2.,3.,则,若 是互不相容的事件，,历史上著名的投掷硬币试验记录,试验表明：,“正面出现”的频率总在一个定值附近波动，而且，试验次数越多，波动越小. 这个性质叫做频率的稳定性.,概率的统计定义,定义,在相同条
2、件下进行n次重复试验,若事件A,发生的频率,随着试验次数n的增大而,稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，,记为P(A).,概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的,性质:,1.,2.,3.,则,若 是两两互不相容的事件,定义,(1) 样本空间中的样本点个数有限： (2) 基本事件 两两互不相容； (3) 基本事件 发生的可能性相等 则称这个问题为古典概型. 随机事件 的概率定义为 其中，|A|表示A中所含样本点的个数.,例：在抛硬币的试验中， P(“出现正面”)= P(“出现正面”)=1/2. 在掷骰子的试验中, P(1)=P(2)=P(6)=1/6, P(“点数为奇数”)
3、=3/6=1/2. P(“点数3”)=2/6=1/3 【例1】号码锁上有6个拨盘，每个拨盘上有09共十个数字，当这6个拨盘上的数字组成原确定打开号码锁的6位数 时(第一位可以是0)，锁才能打开，如果不知道号码锁的号码，一次就能把锁打开的概率是多少？,【例2】设一口袋中有m件产品，其中有k件正品，m-k件次品.现从中任意取出n（n=m）件产品，问其中恰有j (j=k)件 正品的概率？ 定理2.1 古典概率具有下列性质 (1) (2) (3) 如果事件A与B互斥，则 特别的，P(A)+P( )=P(U)=1, 即 P(A)=1-P( ),【例3】将一枚均匀硬币抛三次. (1) 设事件A为“恰有一次
4、出现正面”，求P(A); (2) 设事件B为“至多一次出现正面”，求P(B); (3) 设事件C为“至少一次出现正面”，求P(C).,【例4】产品放在一个箱子内，其中正品46件，次品4件，现按照下述两种取法从箱中取出两件产品， 取法1：每次取一件，看完放回箱中，再取下一件. 这种取法称为放回抽样. 取法2：每次取一件，看完不放回箱中，再从剩余的产品取下一件. 这种取法称为不放回抽样. 在不同的取法下，求 (1) 取出的两件产品都是正品的概率 (2) 取出的两件产品为同质量产品的概率 (3) 取到的两件产品中至少有一件是正品的概率,古典概率只限于有限个基本事件的情况. 当试验结果为无 穷多个可能
5、时，古典概率不再适用. 例： 陀螺的形状为旋转体，在它的长为3的圆周上均匀地刻上刻度. 在桌面上旋转陀螺，当它停止转动后，观察它的圆周与桌面的触点的刻度. 求触点刻度落在1,2内的概率. 在这个试验中， 样本点为：x, 0=x3, x为实数. 基本事件：x, 0=x3. 样本空间：U=x| 0=x3. 因为陀螺是均匀的，所以可认为触点落在0,3)内的每一点都是等可能的，而1,2的长度是1，所以触点落在1,2的概率应为1/3.,几何概率,一般情况给出下面定义,定义 设区域G的长度(或面积、体积)为D, 质点可以等可能地落在G中的任何一点. 设事件A=“质点落在G内一个长度(或面积、体积)为d的区
6、域g内”，则A的概率为,【例6】(会面问题) 甲乙两人约定上午7点到8点在某地会面. 先到者等候另一人20分钟，过后就可离去. 试求两人能会面的概率？ 【例7】在长度为a的线段AD上任取两点B，C，在B，C处折断而得三个线段，求“这三个线段能构成三角形”的概率？,二、概率的公理化定义,定义3:,设E是随机试验,S是它的样本空间,对于,E的每一件事件A赋予一个实数, 记为P(A),若P(A)满,足下列三个条件:,1.,非负性:,对每一个事件A,有,2.,完备性:,3.,可列可加性:,对任意可数个两两互不相容的,则称 P(A)为事件A的概率.,三、概率的性质,性质1,性质2,容的事件，,则有,性质3,性质4,特别地，,若,则,(1),(2),性质5,对任一事件A，,性质6,注：,性质6可推广到任意有限个事件的并的情形.,例如,【例8】,设 P(A)=1/3, P(B)=1/2, 在下列三种情况下求P( )： 与 互斥； ； . 【例9】 在12000的整数中随机地取一个数，问取 到的整数既不能被6整除又不能被8整除的概 率是多少？,
