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1、数值计算方法,本课程的性质、目的和任务： 本课程是电气工程及其自动化专业一门专业基础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能。为进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要的基础。,课时安排： 讲课：24学时 上机：8学时,第一章 数值计算引论,主要内容： 数值计算方法的概念、研究对象及特点 数值计算中的误差； 近似数的误差表示法； 运算误差分析； 减小运算误差的原则；,解决科学计算问题的过程,计算机计算的特点：,运算速度快 只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算,计算机计算数学问题的步骤：,数值计算方法，又称
2、数值分析或计算方法, 它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。 根据计算机的特点，必须把对数学问题的解法归结为及逻辑运算，并对运算顺序有完整、准确的描述的算法。,数值计算方法定义：,解决的数学问题,计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是： 非线性方程的数值求解 线性方程组的数值求解 插值和曲线拟合 数值积分和微分 常微分方程的数值求解。,数值算法特点：,1面向计算机 根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的；
3、 2保证算法的收敛性和稳定性 数值算法的数值解能任意逼近精确解到要求的程度；还要保证算法的数值稳定性。,3要有好的计算复杂性 算法的计算复杂性是指该算法的空间复杂度和时间复杂度。 空间复杂度：指算法需占用的存储空间. 时间复杂度：指算法包含的运算次数。,例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行 次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。,计算方法中常用的一些概念,数值问题：由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。 数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为
4、数值解。一般为近似值。 算法：由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。,1.2 数值计算中误差的来源,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,机器字长有限 舍入误差,大家一起猜？,1,1 / e,解法之一：将 作Taylor展开后再积分,= 0.747 ,1.3 误差与有效数字,由于无法准确地知道绝对误差 的大小，但根据具体情况可估计出误差范围。,误差限不唯一，实际中常用四舍五入来取近似值。,例如测量数据、四舍五入数据,四舍五入的误差限是末位的半个
5、单位,有效数字,用科学计数法，记 （其中 ）。若 ，则称 为有n 位有效数字，精确到 。,有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决定的。,等价定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数 字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。,定义：,4,3,关于有效数字还要指出以下几点： 1)用四舍五入取准确值的前 n 位作为近似值，则必有 n位有效数字。 2) 把任何数乘以10p，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。 例如： 9.80 写成0.00980 10-3 3）数字末尾的0不可随意省去 0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表
6、示只有3位有效数字。 准确值被认为具有无穷多位有效数字, 相对误差,x 的相对误差上限 定义为:,定义：,实际应用：,相对误差限在实际计算中常称为相对误差。 由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。,1.4 函数的误差估计,问题：对于 y = f (x)，若用 x* 取代 x，将对y 产生什么影响？,设一元函数 的自变量 的近似值为 ， 的近似值为 ，其误差限记为 。将 在近似值 作泰勒展开 介于 ， 之间。取绝对值得其中： 为近似数 的绝对误差限。,分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。,1.4 函数的误差估计,忽略 高次项，可得到
7、,函数运算相对误差:,函数运算绝对误差:,1.5 减小运算误差的若干原则,1. 避免相近二数相减 (详细分析请参阅教材P11),例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有5位有效数字。 而 a2 a1 = 0.00001，只剩下1位有效数字。, 几种经验性避免方法：,当 | x | 1 时：,公式变换,如果计算公式不能改变时，增加有效位数；,当 很接近时，采用泰勒展开；,1.5 减小运算误差的原则,2. 避免小分母 : 分母小会造成浮点溢出,3. 避免大数吃小数,例：用单精度计算 的根。,精确解为, 算法1：利用求根公式,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.110
8、1。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,大数吃小数,算法2：先解出 再利用,其它措施：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算 1 + 2 + 3 + + 40 + 109,4. 减少步骤，减少运算次数，避免误差积累。,例1：计算x255的值,5. 选用数值稳定性好的算法。,1.5 减小运算误差的原则,数值稳定性定义：如果在执行算
9、法的过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制（结果是可靠的），则该算法是数值稳定的，否则就是数值不稳定的。,在实际运算过程中，参与运算的各种数据一般都带有一定的误差，这些误差即使很小，也会随着计算过程的进行不断传播（或积累）下去，对结果产生一定的影响。 如果计算结果对初值误差不敏感，则认为算法是数值稳定的。 算法数值稳定的一个必要条件是原始数据小的变化只会引起最后结果有小的变化。,例：计算, 公式一：,注意此公式精确成立,?,?,? !,! !,考察第n步的误差, 公式二：,注意此公式与公式一 在理论上等价。,方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n N )。,可取,取,考察反推一步的误差：,以此类推，对 n N 有：,误差逐步递减, 这样的算法称为稳定的算法,
