《数项级数及其收敛性讲解材料》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数项级数及其收敛性讲解材料(20页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、一、数项级数及其收敛性,二、数项级数收敛的必要条件,第8章 级数,8.1数项级数的概念和性质,三、函数项级数基本概念,由于式中的每一项都是常 数,,定义 1 设给定一个数列 u1 , u2 , , un , ,,称为无穷级数.,其中 u1 , u2 , 叫做该级数的项,,un 称为一般项或通项.,所以又叫数项级数,,简称级数,,一、数项级数及其收敛性,称 u1+ u2 + + un + = 为部分和数列,记作Sn.,即,这时也称该级数收敛于 S .,若部分和数列的极限不存在,,发散.,由定义 2 知,,该等比级数收敛,,即,所以这时该等比级数发散.,当 r = 1 时,,因此该等比级数发散.,
2、部分和数列极限不存在,,故该等比级数发散.,当 n 为奇数,,当 n 为偶数,,试证明其发散.,由此知 f (x) 为增函数.,相加得,解 注意到,因此,,所以该级数的和为,即,就有,于是,因此这时必有,这就是级数收敛的必要条件 .,二、数项级数收敛的必要条件,事实上,,定理,则,例 5 试证明级数,证,例 6 试讨论级数,解 注意到级数,所以级数发散 .,三、函数项级数基本概念,则称点 x0 为函数项级数的一个收敛点.,称为函数项级数,,在函数项级数 中,若令 x 取定义域中某一确定值 x0 ,,则得到一个数项级数,若上述数项级数收敛,,反之,若上述数项级数发散, 则称点 x0 为函数项级数 的发散点.,上述级数的和 S 也随之 变动,,称为函数项级数的收 敛域.,收敛点的全体构成的集合,,若 x0 是收敛域内的一个值, 因此必有一个和 S(x0) 与之对应,,即,当 x0 在收敛域内变动时,,就得到一个定义在收敛域上的函数 S(x),,即,如果我 们仿照数项级数的情形, 将函数项级数 的前n 项和记为 Sn(x) , 且称为部分和函数,,这个函数 S (x) 就称为函数项级数的和函数.,那么在函数项级数的收敛域内有,则在收敛域内同样有,解 因为所给级数的部分和函数,所以,它在区间 (-1,1) 内收敛,,即收敛域为 (-1,1).,且所给级数的和函数为,例 1 试讨论,