《第1节导数的概念课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第1节导数的概念课件（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习要求,理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,导数的概念,导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度,极限思想：令 t t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即,直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。,如果质点做匀速直线运动，则任意时刻的速度也就是平均 速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时 速度 呢？,问题：设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间t, 得到平均速度，即,导数概念的几何背景曲线的切线问题,问题：如右图所示，已知曲线及曲线
2、上的一点M , 如何确定曲线在点 M 处的切线？,过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定点 M 靠拢时，割线 MN 则绕定点 M 旋转而趋于极限位置 MT , 得到曲线在点 M 的切线。,切线：割线的极限位置。,上述过程可用极限式表示如下：,变化率问题,设某个变量 Q 随时间 t 的变化而变化，时刻 t 取值 Q (t),从时刻 t 经过 t 时间， 量 Q 的改变量为,量 Q 的平均变化率为,导数 Derivative的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x
3、( 点 x0 +x 仍在该邻域内）时， 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 (derivable)，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数(derivative)，记为 。,即,在引例中有,导数定义的不同形式,导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质,差商,解答,思考题：单项选择题,若 ，则,分析,例题 设 ，求,解,所以,如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果,其结果表示是x的函数，称之为导函数。,若函数 y=f (x) 在开区间 I
4、内的每点处都可导，就称函数 y=f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对于任意 x I , 都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y=f (x) 的导函数（简称导数derivative），记作：,把 x0 换成 x , 可得,或,点导数与导函数的关系,导函数的概念,如上例中,利用定义求导数举例,例1 求常值函数 的导数。,解,所以常数的导数等于零，即,例2 求正弦函数 的导数。,所以,同理可求得,解,对一般的幂函数有,例3 求幂函数 的导数。,解,所以,例如,例4 求对数函数 的导数。,解,所以,特别,单侧导数,左导数 （derivative on the
5、left）,右导数 （derivative on the right）,例5 已知,解 因为,所以,，从而,导数的几何意义,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例6 求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法线方程。,即,即,函数的可导性与连续性的关系,函数 f (x) 在某点可导，则在该点连续。,证明 设函数 在点 可导,则 存在,于是,所以,即函数 在点 处连续,例7 讨论函数 f (x)= |x| 在点 x=0 的连续性和可导性。,故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 连续,故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 不可导,连续是可导的必要非充分条件,解,函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。,例题：单项选择题,设 在 处可导， 则 的值为（ ）,分析,分段函数在分界点处的导数,小结：本节的主要内容 、熟练掌握利用导数定义求导数的方法； 、掌握导数的几何意义； 、理解可导性与连续性之间的关系。,作业：P56P57 1（2）； 5； 7（3）； 8 预习：P57P62 第二节 导数的运算法则,分析,返回,命题： 可导 连续,可导,（1）,（2）,返回,
