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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 稳态导习题 1 固体内的一维导热问题例1 具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2，导热系数为常数，两侧壁温各自均布，分别为 tw1和tw2，试求该平壁内的温度分布表达式。解: 根据题意，x坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为： （1）边界条件： x= -: t=tw1x= : t=tw2 （2）移项后积分该微分方程式两次可得其通解 （3）代入边界条件 （4） （5）式（4）+式（5） （6）式（4）式（5） （7）C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 （8） 例2具有均匀内热源qv的无限大平壁处
2、于稳态导热，其厚度为2，导热系数为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为tw，试求该平壁内的温度分布表达式。解: 根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为： （1）边界条件：x=0: x=: （2）该微分方程式的通解为 （3）代入边界条件 （4） （5）由式（4） (6)常数C1代入式（5） (7)常数C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式 (8)例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的tw1和tw2，侧面覆有保温材料。锥台的导热系数为常数.该锥台横截
3、面的直径随坐标x的变化规律为d=cx(c为常数)。设锥台内的导热为沿x方向的一维稳态导热。试求：a. 通过锥台的热流量 b. 任意x处的热流密度解: 锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝热，因此锥台内沿x方向的热流量为常数，导热系数为常数,可用傅里叶定律直接积分求得。 根据傅里叶定律 （1）式（1）两侧分离变量并积分 （2）由于热流量和导热系数均为常数 （3） （4） （5）因此 （6）任意x处的热流密度 （7）例4一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为，导热系数可用线性函数关系式=o(1+ct)近似,其中o和c均为常数，两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2，试求通过该平壁的热流密度
4、q。解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流量或热流密度q为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。 根据傅里叶定律 （1）式（1）两侧分离变量并积分 （2） (3)因此 （4）例5一导热系数为1=1.3 W/(mK)，厚2 cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数2=0.35 W/(mK)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为1300 与30 时，欲使稳态导热时热损失不超过1830 W/m2，保温材料的厚度应为多少？解：根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热流密度为常数。因此， m例6已知一半径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数为
5、常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面温度均布为tw，试求圆柱体内的温度分布。解:由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为 （1）边界条件：r=0: r=r0: （2）移项式（1） （3）式（3）两侧积分一次 （4）式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解 （5）代入边界条件 当r 0时，lnr，而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取C1=0时，该方程的解才符合实际情况。 （6） (7)常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式 (8)例7已
6、知一直径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为tf ，液体和圆柱体间的对流换热系数为h。试求圆柱体内温度分布的表达式。解:根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。 （5） 和上题，取C1=0并代入圆柱体表面的边界条件。 （6）上题中式（2）可写成 (7)因此 （8）常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式 (9)讨论：例题2.6和2.7的几何条件和物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不同。例8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为0.1/m，导热系数=19 W/
7、(mK)，浸在温度为30 的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h=5.5 kW/（m2K）。当100 A的电流通过该金属丝时，试求金属丝的中心温度。解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换热量，因此可列出能量守恒方程I2R=hA(tw - tf) （1）式（1）中代入具体数值10020.1=55000.0031(tw -30) （2）因此可算得金属丝表面温度为 tw=49.3 （3）内热源强度 MW/m3 （4）由解析习题2.6中式（8）计算出金属丝中心(r=0)温度为 （5）例9蒸汽管道的外直径为6 cm,管外覆盖两层保温材料：第一层的厚度为1 cm，导
8、热系数1=0.14 W/(mK)；第二层的厚度为2 cm，导热系数2=0.042 W/(mK)。蒸汽管道的外表面温度tw1=300 , 保温层外表面温度为tw3=40 。试求稳态导热时两层保温材料交界面的温度tw2。解:多层壁的问题，采用热阻计算。根据题意，各层壁内无内热源，因此沿半径方向的热流量为常数。 （1）式（1）中消去 2l，并代入具体数值， （2）因此可求得两层保温材料交界面的温度 tw2 =240.3 （3）例10已知一内外径分别为r1和r2的圆球壁，它的密度和比热容c均为常数，无内热源。两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2。试求圆球壁稳态导热时壁内温度分布的表达式。解：根据题意
9、，这是一种对于圆心的对称情况， r坐标的原点取圆心。当导热系数为常数时，描述该圆球壁内稳态温度场的微分方程式为 （1）边界条件： r=r1: t=tw1 r=r2: t=tw2 (2)式（1）两侧积分一次 （3）式（3）两侧再积分一次，可得该微分方程式的通解 （4）代入边界条件 (5) (6)式（5）式（6） （7）式（7）代入式（5） （8）常数C1和C2代入微分方程式的通解式（4）得到壁内的温度表达式 （9） 例11玻璃液柱式温度计插入一焊在气体管道的钢制细长套管内测定管道内的气体温度。为了增强温度计和套管间的传热，减少测温误差，套管内灌入机油。温度计的指示温度为200 ，气体管道壁温为80 。钢制套管长8 cm,直径为1.5 cm,壁厚为1 mm，导热系数约为40W/(m2K)。气体与套管外表面间的对流换热系数为100 W/(m2K)。试求气体的实际温度。解：若忽略温度计和套管底面间的热阻，温度计的指示温度可视为为套管底面的温度。忽略温度计玻璃柱和机油的导热，套管可视为空心等截面直肋。求解时按绝热肋端边界条件加上长度修正，可简化计算过程。 m2 (1)
