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1、,一. 不定积分概念,ESC,4.2 不定积分概念与性质,二. 不定积分的性质,4.2 不定积分概念与性质,三. 不定积分的几何意义,乘法,ESC,一. 不定积分概念,1. 原函数定义,微分法,积分法,在微分学中,我们所研究的问题是寻求已知函数的导数.,但在许多实际问题中,常常需要研究相反问题,就是已知函数的导数,求原来的函数.,除法,ESC,一. 不定积分概念,1. 原函数定义,案 例,已知曲线 在横坐标为 处的切线,斜率为 且曲线过点 ,求该曲线,的方程.,分析,这是已知曲线 的切线斜率,求曲线方程的问题.,又由导数的几何意义,切线斜率,我们已经知道,于是我们所求的曲线方程为,依题设,切线
2、斜率,ESC,一. 不定积分概念,积分法,微分法,微分法是研究如何从已知函数求出其导函数.如已知函数 要求它的导函数:,而案例中的问题则是:已知函数 ,要求一个函数 ,使其导函数恰是:,已知函数 ,要求它的导函数,已知导函数 ,要还原函数,ESC,一. 不定积分概念,称 是函数 的一个原函数,是任意常数,是函数 的无穷多个原函数,由此可知,一个函数若有原函数,则它必有无穷多个原函数.,ESC,一. 不定积分概念,1. 原函数定义,定义4.2 (原函数定义) 在某区间 上,若有,或,则称函数 是函数 在该区间上的一个原函数.,例1设函数， 由 于函数满足 ， 所以是的一个原函数,不难看出， (为
3、任意常数)都是的原函数,ESC,一. 不定积分概念,由此例可以看出：如果函数有一个原函数，则就有无穷多个原函数，而这些原函数之间仅差一个常数,ESC,一. 不定积分概念,一般，如果是的一个原函数，则 的全部原函数就是 (为任意常数),原函数 的特性,ESC,一. 不定积分概念,2. 不定积分定义,定义4.3 (不定积分定义),函数 的所有原函数,称为 的不定积分,记作,积分变量,积分号,求被积函数 的不定积分,关键是求出被积函数 的一个原函数 然后再加上任意常数,其中,例2,ESC,前述,解,一. 不定积分概念,因,有,因,有,求下列不定积分:,(1),(2),( ).,(1)被积函数,因为,
4、故,于是,特别地,ESC,解,一. 不定积分概念,(2),( ).,(2)被积函数,由于,故,如,ESC,一. 不定积分概念,如,例3,ESC,解,一. 不定积分概念,求不定积分,被积函数,当 时无意义.,当 时,因为,所以,当 时,因为,所以,将上面两式合并在一起写,当 时,就有,ESC,一. 不定积分概念,例4求函数 的不定积分,可以证明：如果被积函数在某区间上连续，则在此区间上一定有原函数,ESC,一. 不定积分概念,例5下列函数中是同一函数的原函数的是（ ）,解： 选 因为,故 是同一函数 的原函数。,学生验证其余三个选项。,ESC,一. 不定积分概念,例6 设 的一个原函数是 则,。
5、,_ 。,解：根据定积分的定义， 是,全体原函数，而 是 的一个原函数，,所以,按原函数的定义：,从而,一. 不定积分概念,ESC,例7 若 的导函数为 ，则,的一个原函数为（ ）,解：因为 所以,而,取 得 的一个原函数为,故选,二. 不定积分的性质,性质1,ESC,求不定积分与求导数或求微分互为逆运算,性质2,不定积分运算性质,或,或,这些性质均可 由不定积分的 定义得到.,二. 不定积分的性质,ESC,例8（1）设 则,（2）若 则,_。,_。,（3）,_。,解（1）,（2）,（3）,例9,求下列不定积分:,解(1),(1),二. 不定积分的性质,(2),由不定积分的运算性质,解(2),
6、由不定积分的运算性质,ESC,二. 不定积分的性质,ESC,注意：(1)原函数、所有原函数表示式、不定积分三个概念之间的关系.,(2)求不定积分 ，归结为求出它的一个原函数，再加上一个任意常数C，切记要“+C”，否则，求出的只是一个原函数而不是不定积分.,(3)可以用求导的方法验证所求不定积分是否正确.,(4)若 = ， = ，则有 .从而有 即同一个函数的原函数间仅差一个常数.,三. 不定积分的几何意义,ESC,如果是的一个原函数，则的不定积分对于每一给定的常数，表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为的一条积分曲线由于可以取任意值，因此不定积分表示的一族积分曲线而其中任意一条积分曲线都
7、可以由曲线 沿 轴方向上、下平移得到。或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线都是互相平行的。,ESC,三. 不定积分的几何意义,ESC,三. 不定积分的几何意义,例10设曲线过点（-1，2）， 并且曲线上任意一点处切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程,ESC,三. 不定积分的几何意义,ESC,三. 不定积分的几何意义,例11 通过各种生产技术试验，制造商发现产品的边际成本是由函数 =2q+6（千元/台） 给出的，式中q是产品的单位数量已知生产的固定成本为9千元，求生产成本,解生产成本的导数 是边际成本即,ESC,三. 不定积分的几何意义,所以 其中C是任意常数由固定成本的
8、定义，知 C(0)= 9 推得C = 9，于是得到满足条件的生产成本,（或,ESC,内容小结,1.不定积分的概念 （1）原函数的定义 （2）不定积分的定义,在某区间 上,若有,则称函数 是函数 在该区间上的一个原函数.,函数 的所有原函数,称为 的不定积分,记作,ESC,课堂练习,2.不定积分的性质,性质1不定积分与求导数或微分互为逆运算,(1) 或,(2) 或,ESC,课堂练习,3.不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的积分曲线 .,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,(，常数).,性质2 不定积分的运算性质,ESC,课堂练习,ESC,课堂练习,1.单项选择题,(1)设 的一个原函数为 ，则 （ ）,（2）设函数 的导数是 ，则 的全体 原函数是（ ）,课堂练习,ESC,2.求下列曲线方程,（1）已知曲线在任意一点 处的切线斜率为 ，并且曲线过点 。,（2）已知曲线在一点 处切线斜率与 成正比，且曲线过点 。,2.题答案（1） （2）,布置作业,ESC,P74 习题4.1 5、6、7、8.,
