{经营管理知识}概率论和统计基础讲义

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1、第二讲,从随机现象说起 在自然界和现实生活中，根据事物之间是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类： 1确定性的现象：这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。 例如，在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。 2不确定性的现象：这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。例如：同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。 我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物

2、间的这种关系是属于偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。,在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所的结果不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。 随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着

3、我们观察的次数的增多而愈加明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。 我们把这种由大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性，叫做统计规律性。概率论和数理统计就是研究大量同类随机现象的统计规律性的数学学科。,概率论产生于十七世纪，其发源的思想来自于赌博者的请求。 在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢 m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了 a (am)局，另一个人赢了 b(bm)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在

4、1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。 三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了论机会游戏的计算一书，这就是最早的概率论著作。,概率论和数理统计可以细分为： 概率论、数理统计、统计方法 三个不同的内容。,概率论的产生和发展,概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。 数理统计是应用概率的理论来研究大量随机现象的规律性；对通过科学安排的一定数量的实验所得到的统计方法给出严格的理

5、论证明；并判定各种方法应用的条件以及方法、公式、结论的可靠程度和局限性。使我们能从一组样本来判定是否能以相当大的概率来保证某一判断是正确的，并可以控制发生错误的概率。 统计方法是以上提供的方法在各种具体问题中的应用，它不去注意这 些方法的的理论根据、数学论证。,概率统计在研究方法上的特殊性：,第一，随机现象的统计规律是一种集体规律，必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查 就是概率统计这门学科研究方法的基石。另外，作为数学学科的一个分支，它依然具有本学科的定义、公理、定理，这些定义、公理、定理是来源于自然界的随机规律，不存在任何随机性。,第二，在研究概率统计中，使用的是“由

6、部分推断全体”的统计推断方 法。由这一部分资料所得出的一些结论，要在全体范围内推断这些结论的可靠性。,第三，随机现象的随机性，是指试验、调查之前来说的。而真正得出结果后，对于每一次试验，它只可能得到这些不确定结果中的某一种确定结果。我们在研究这一现象时，应当注意在试验前能不能对这一现象找出它本身的内在规律，而非统计规律。,概率论的内容,概率论作为一门数学分支，它所研究的内容一般包括随机事件的概率、统计独立性和更深层次上的规律性。 概率是随机事件发生的可能性的数量指标。在独立随机事件中，如果某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显的稳定在某一固定常数附近。就可以认为这个事件发生的概

7、率为这个常数。对于任何事件的概率值一定介于 0和 1之间。 有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。,随机变量/事件,在客观世界中，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。 随机变量有有限和无限的区分，一般又根据变量的取值情况分成离散型随机变量和非离散型随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。,在离散型随机变量

8、的概率分布中，比较简单而应用广泛的是 二项 式分布。如果随机变量是连续的，都有一个分布曲线，实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。,数理统计的内容,数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。抽样检验是要通过对子样的调查，来推断总体的情况。究竟抽样多少，这是十分重要的问题，因此，在抽样检查中就产生了“小样理论”，这是在子样很小的情况下，进行分析判断的理论。 适线问题也叫曲线拟和。有些问题需要根据积累的经验数据来求出理

9、论分布曲线，从而使整个问题得到了解。但根据什么原则求理论曲线？如何比较同一问题中求出的几种不同曲线？选配好曲线，有如何判断它们的误差？就属于数理统计中的适线问题的讨论范围。 假设检验是只在用数理统计方法检验产品的时候，先作出假设，在根据抽样的结果在一定可靠程度上对原假设做出判断。 方差分析也叫做离差分析，就是用方差的概念去分析由少数试验就可以做出的判断。 概率统计随着现代工农业、近代科技的发展而不断发展，形成了许多重要分支。如：试验设计DOE、多元分析等。,概率统计基础,1.排列和组合,2.数据的基本特征,3.古典概率和条件概率,4.离散和连续数据的分布,5.统计,6.综合应用,在正式概率统计

10、基础介绍的开始，我们先来做个小小的赌博游戏：游戏规则：1.我手里的小布袋里有20颗围棋子，10颗是白色的，10颗是黑色的，现在我做个东道主，你们可以参加游戏。参加者可以把手伸进扎了口的布袋，从里面取出10颗围棋子（条件：参加者在取出棋子的过程中，不能看清棋子的颜色）。2.由取出棋子的颜色决定输赢： 10黑 + 0白 或者 10白 + 0黑 参加者赢得人民币100.00元 9黑 + 1白 或者 1黑 + 9白 参加者赢得人民币50.00元 8黑 + 2白 或者 2黑 + 8白 参加者赢得人民币10.00元 7黑 + 3白 或者 3黑 + 7白 参加者赢得人民币2.00元 6黑 + 4白 或者 4

11、黑 + 6白 参加者输人民币8.00元 5黑 + 5白 参加者输人民币5.00元,第一章 随机事件及其概率,试验,为了研究随机现象, 就要对客观事物进行观察.观察的过程称为试验. 概率论里所研究的试验有下列特点: 在相同的条件下试验可以重复进行; 每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果; 在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果,样本空间,给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊字母表示.,试验和样本空间的例,1,

12、掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则 =正面, 反面 2, 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本空间为 =1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点,更多的试验和样本空间的例,3, 掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果: (反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正) 因此样本空间: =(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正),更多的试验和样本空间的例,4, 掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有36种可能的结果:

13、 =(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), = (x,y)|x,y=1,2,3,4,5,6,事件,事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试

14、验结果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, 等表示. 例如, 掷两次硬币这个试验, 事件A=至少一次正面朝上包括三个样本点(正,反),(反正),(正正). 也可以表示为 A=(正,反),(反,正),(正正) 掷两次骰子的试验, 事件B=两次点数相同, 则B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),几个特殊的事件,基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个试验结果的事件称为基本事件. 必然事件: 包括整个样本空间的所有元素的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件. 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即每次试验一定不会发生, 称

15、为不可能事件, 用表示, 则=.,事件的图示,为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示一具体的事件.,事件间的关系及其运算,事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生, 即属于A的每一个样本点都属于B, 则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B, 记作 BA或AB,等价的说法是如果B不发生则A也不会发生. 对于任何事件A有 A,事件的相等,如果事件A包含事件B, 事件B也包含事件A, 称事件A与B相等. 即A与B中的样本点完全相同. 记作 A=B,事件的并(和),两个事件A,B 中至少有一个发生, 即A

16、或B, 是一个事件, 称为事件A与B的并(和). 它是属于A或B的所有样本点构成的集合. 记作 A+B 或 AB,易知 A + = A + = A,A,B,n个事件A1,A2,An中至少有一个发生,是一个事件, 称为事件的和, 记作 A1+A2+An 或 A1A2An 可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作,事件的交(积),两个事件A与B同时发生, 即A且B, 是一个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB或AB,易知 A = A A = ,对立事件,事件非A称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合. 记作,显然,事件的差,事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合. 记作 AB,易知:,互不相容事件,如果事件A与B不能同时发生, 即AB=, 称事件A与B互不相容(或称互斥