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1、无穷级数,数项级数的概念和性质,无穷级数,表达函数,解微分方程,数值计算,数项级数的概念和性质,一. 数项级数的概念,中学: 无穷等比级数,就是无穷级数的一种,定义,将其各项依次累加所得的式子,称为数项无穷级数,设有数列,项,通项,1. 部分和:,2. 部分和数列:,3. 收敛:,称级数收敛,称为级数余项,极限不存在,称级数发散,例1. 判断下列级数的部分和,并判断其敛散性:,(1).,级数收敛其和是1,(3).,级数发散,级数收敛其和是3,二. 数项级数的性质,性质1,若级数 收敛于和 S, k 为常数,则,推论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数后,敛散性不变,性质2. 两个收敛级数可以逐
2、项相加或逐项相减,性质3. 改变有限项不影响级数的敛散性,例2:,因为 和 都收敛,级数收敛,性质4. 收敛级数各项加括号后所得新级数仍收敛且和不变,注意: (1). 加括号后所得新级数发散,则原级数发散.,(2). 加括号后所得新级数收敛,原级数不一定收敛.,例如: (11)+ (11)+ (11)+.收敛,而11+11+11+.发散.,性质5.(级数收敛必要条件),若级数 收敛,则,(2). 时,级数 不一定收敛,判断级数发散 的第一步骤,例如:调和级数,但级数发散,(2),不存在,级数发散,例3. 判断级数敛散性:,(1),级数发散,(3),发散,故原级数发散,数项级数的审敛法,一.正项
3、级数及其审敛法,每一项都非负,其部分和数列有界,定理1(基本定理)正项级数 收敛的充要条件是,定理2(比较审敛法),设 和 都是正项级数,且,若 收敛,则 收敛;,若 发散则 发散.,注意: 定理2可以与第一节的性质相结合,灵活运用.,定理3(比较审敛法极限形式),设 和 都是正项级数,如果,则 和 同时收敛或同时发散.,定理4.(比值审敛法),设 是正项级数,如果,则:,定理5.(根值审敛法),设 是正项级数,如果,则:,(证明略),解,则级数收敛,例: p-级数的敛散性,解,时,级数显然发散.,因为 , 而 发散,则 p-级数发散,时,它的各项不大于下面的等比级数各项,收敛,收敛,因此 p
4、-级数的部分和有界,故收敛.,发散 收敛,时,例5. 判断级数敛散性:,而 收敛,收敛,而 发散,发散,而 收敛,收敛,而 收敛,收敛,收敛,例6. 判断级数敛散性:,收敛,当,发散,由于,收敛,收敛,二.任意项级数及其审敛法,各项为任意实数的级数,1. 交错级数:,或,定理6 (莱布尼兹定理),则级数收敛,且其和 ,其,证,单调,有界,则,同理,交错级数,例如,收敛且S1,如果,则,2. 绝对收敛与条件收敛,对于一般的任意项级数,考虑,正项级数,例如,绝对收敛,条件收敛,定理7. 如果 绝对收敛,则 必收敛,证,设,则,收敛,而,注意:(1) 逆命题不成立,(2) 如果用比值或根值审敛法判定
5、 发散,则 发散,(证明略),例7,收敛,收敛,绝对收敛,例8,对,发散,对,收敛,条件收敛,令:,知 收敛,绝对收敛,令:,则,所以 收敛,绝对收敛,例9,例10 判断下列级数敛散性,若收敛,是绝对收敛,还是条件收敛,法1 由于,而 发散,由比较判别法知 发散,例11,三、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该
6、幂级数发散 ,则对满足不等式,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径 ，,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,机动 目录 上页 下页 返回
7、 结束,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R ,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,求下列级数的敛散区间:,例13:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解: 因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项
8、,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和, 变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录
9、上页 下页 返回 结束,例16:,解: (1),显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x = 0 时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17:,解: 原式=,的和 .,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,R = 2,解：,.,.,？,展开式4,=,（由原级数知.）,例18,解：,= 2e (e 1 ),= e + 1 .,.,.,.,展开式 1,.,例19,四、
10、函数的幂级数和, 直接展开法, 间接展开法,例20:,(1). 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数的幂级数展开法,(2). 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和.,解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,充 要,几何,|r| 1,|r| 1,它的前n项和序列Sn,级数,的敛散性,.,+,1 填空,练习,.,P级数,P 1,P 1,比较法,比值法,根值法,积分法,交错级数,.,., u1, un+1,.,必定发散,仍然收敛,不变,.
11、,.,.,.,2 判断是非,（是：；非：, 后者请举反例.）,.,例：,.,例：,.,.,先求出R,令 y = xx0,.,先考虑,再换回 x 的收敛区间。,3. 确定幂级数收敛域,.,.,.,.,再考虑端点x=R处的敛散性.,4 判断级数敛散性,1,.,.,.,.,.,.,解：,2,.,.,解：,由比值法：,由收敛的必要条件：,.,.,.,解：,3,.,.,解：,4,.,（为什么？）,三. 课堂练习,三 1. 解答,用级数收敛的定义.,所以，原级数收敛，且其和为 1 a .,.,三 2. 解答,由莱布尼茨定理知级数收敛。,再由ex 的麦克劳林展开式知：,即：,.,.,.,.,三 3. 解答,.,.,
