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1、3.9 定积分的物理应用,一、变力作功问题,中有一个不变的力 作用在这物体上，且这,力的方向与物体的运动方向一致，那么，在,物体移动了距离 时，力 对物体所作的功,就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.,为,由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程,如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，,设将位移的方向取为坐标轴的方向，又力是位移,的连续函数F(x)，其中x 是质点的坐标，在力的,作用下，质点从点a移至点b，求力F(x)所作的功.,分析：用微元法，在a,b上任一个小区间x, x+dx,对于小区间x, x+dx，可近似地视该 小段上的质点,位移受力不变，都是F(x). 于是功微元为：,功
2、微元为：,从而质点从点a移至点b时，力F（x）所作的功为：,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,解,建立坐标系如图,例2 一圆柱形蓄水池高 为5米，底半径为3米，池 内盛满了水.问要把池内的 水全部吸出，需作多少功？,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的,阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在,第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击,所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入,多少？,次锤击所作的总功为,依题意知，每次锤击所作的功相等,次击入的总深度为,第 次击入的深度为,例4,
3、解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,例,5,有一长度为,l,、线密度为,r,的均匀细棒，,在其中垂线上距棒,a,单位处有一质量为,m,的质点,M,，计算该棒对质点,M,的引力,解,建立坐标系如图,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,二、引力,小段与质点的距离为,引力,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,解 圆弧上点的角度变化范围为：,将,上的小区间,近似看作上点，它对点P引力,的大小为：,由于引力不但有大小，而且有方向，应当把引力,向两坐标轴作分解。由对称性，整个引力在y轴方向,上的分力为零。该小段圆弧,对质点P的引力在x轴方向上,的分力即引力微元为：,因此，整个引力在x轴方向的分力为：,例,7,将直角边各为,a,及,的直角三角形薄板,垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水,面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边,长，求薄板所受的侧压力,解,建立坐标系如图,面积微元,三、水压力,例8,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,
