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1、8.3 全微分,8.3.1 全微分的理论,*8.3.2 全微分的应用,则称函数,可微,一元函数的全微分,回忆,二元函数的全微分,一、全微分的定义,与一元函数类似，,的线性函数;,高阶无穷小.,1.全微分,所以，称,的线性主部，,证明,定理8.2 (必要条件1),如果函数,可微分,且函数,的全微分为,定理8.3(必要条件2),证,同理可得,上式仍成立,此时,可微分,?,若不存在，则不可微，,否则转下一步；,若为0，则可微，,否则不可微，,同理,解,例,在原点(0,0)是否可微.,函数f(x,y)在原点(0,0)可微.,所以,解,例,在原点(0,0)是否可微.,同理,则,因此,如果考虑动点,沿直线
2、,趋近于,函数f(x,y)在原点(0,0)处不可微.,多元函数各偏导数存在,?,一元函数可导,可微,全微分存在,定理8.4（充分条件）,证明,偏导数,（自学）,非必要条件.,定理的条件是充分的，,即可微分,偏导数连续,18,在原点(0,0)可微.,如:,事实上,同样,19,即函数 f (x, y)在原点(0,0)可微.,但是,事实上,偏导数在原点(0,0)不连续.,所以,特别是,不存在.,即fx(x,y)在原点(0,0)不连续.,极限,函数在一点可微,此题说明:,在这点偏导数不一定连续.,20,判别 f (x, y)在点(x0, y0)是否可微的方法:,(1) 若f (x, y)在点(x0,
3、y0)不连续,或偏导不存在,则必不可微;,(2) 若f (x, y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且,连续必可微;,(3) 检查,是否为,的高阶,无穷小?,即检查,是否为,的高阶无穷小(即极限为0)?,若为0, 则可微,否则不可微.,一元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,函数可导,多元函数连续、可导、可微的关系,偏导数连续,函数连续,函数可微,函数可偏导,记为,习惯上,二元函数全微分,三元函数全微分,记为,同理,解,例,计算函数,在点,的全微分.,所以,解,例,解,所求全微分,例,解,练习,28,二、全微分在近似计算中的应用,当二元函数z = f (x, y)在点P(x,
4、y)的,由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在,的充分条件可知,两个偏导数fx(x, y), fy(x, y)连续,并且|x|, |y|都较小,时,就有近似等式,上式也可以写成,29,解,例,计算,的近似值.,利用函数,在点,处的可微性,可得,30,若函数 f (x, y)在区域D内具有二阶偏导数, 则,选择题,结论正确的是( ).,(B) f (x, y)在D内必可微.,(C) f (x, y)在D内必连续.,(D) (A), (B), (C)三个结论都不对,31,考研数学一, 3分,考虑二元函数 f (x, y)的下面4条性质:,选择题, f (x, y)在点(x0 , y0)处连续,
5、f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续, f (x, y)在点(x0 , y0)处可微,f (x, y)在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在.,若用“”,表示可由性质P推出性质Q,则有,32,全微分的定义,全微分的计算,多元函数极限、连续、偏导、可微的关系,(注意: 与一元函数有很大的区别),三、小结,可微分的必要条件、,可微分的充分条件,33,对多元函数的极限、连续、可导、可微的关系:,偏导连续,有偏导,可微,连续,有极限,对一元函数的极限、连续、可导、可微的关系:,可微,可导,连续,有极限,34,是非题,(非),事实上,由偏导数定义可求得,在点(0,0)处有,故全微分不存在.,从而 f (x, y)在点(0,0)的全微分是零.,
