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1、第七章 非线性方程的求根,/* Solutions of Nonlinear Equations */,求 f (x) = 0 的根,7.1 方程求根与二分法,一、本章解决的问题,二、求根的两个步骤,三、二分法,一、本章解决的问题,在科学计算中常要求解各种方程，,这些方程看似简单，但难于求其精确解。而实际问题：只要能获得满足已定精确度的近似根就可以了。,高次代数方程,超越方程,方程根的几何意义,二、求根的两个步骤,(1)确定根的初始近似值(称之为初始近似根) ，一般为一个包含根的区间，称为“有根区间” (2)根的精确化。根据根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。,如何
2、求有根区间呢？,逐步扫描法,原理：设f(x)在a, b连续，且f(a) f(b)0。则由连续函数的性质知f(x)=0在(a, b)内至少有一个根。若f(x)在a, b上单调，则f(x)=0在(a, b)上有且仅有一个根。,x,y,y= f(x),0,故总假设(a,b)上有唯一根,逐步扫描算法,(1) x0a；,(2) 若 f( x0) f( x0+h)0，则x*必在( x0 , x0+h)中，取 x0或 x0+h作为有根区间，否则转(3);,(3) x0 x0+h，转(2)；,例如 考虑方程,解 由于,故方程至少有一个正实根。,设从x=0出发，取h=0.5为步长向右计算，将各个点上的函数值列于
3、下表：,由于 , 且 f(x)在区间1，1.5上满足,由此可知在(1，1.5)内有且仅有一个 实根，故可取,作为有根区间。,(1，1.5),下面将介绍几种常用的数值解法： 二分法 简单迭代法 牛顿迭代法 弦截法,三、二分法 /* Bisection Method */,1. 二分法的原理,原理：若 f Ca, b，且 f (a) f (b) 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根 x*。,2. 二分法的实施,将方程根的区间平分为两个小区 间，然后判断根在哪个小区间，舍 去无根的区间，而把有根区间再一 分为二，再判断根属于哪个更小的 区间，如此周而复始，直到求出满 足精度要求的近似根。,x1,x2,a,b,When to stop?,或,不能保证 x 的 精度,x*,2,
