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1、拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,拉格朗日中值定理,函数单调性的判定法,引入新课,新课讲授,小结与作业,导数的几何意义：,y=f(x),0,x,y,引 入 新 课,例题,一.拉格朗日中值定理,推论：如果y=(x)在区间（a、b)内有f(x)0 则在此区间内f(x)c(常数）。,定理：如果函数y=(x)满足， 10.在（a、b)上连续 20.在（a、b)内可导，则至少存在一点 使等式f(b)-f(a)=f()(b-a)成立。,注：这个推论是常数的导数是零的逆定理。,例题与练习,新 课 讲 授,(B)练习1：下列函数中在区间-1、1上满足拉格朗日中值 定理条件的是_,(A)例1.求函数f(x)
2、=x2+2x在区间0、1内满足拉 格朗日中值定理的值。,解：,f(1)-f(0)=3,2+2=3,1)f(x)=ln(1+x) 2)f(x)=|x|,4)f(x)=arctanx,下一页,二.函数单调性的判定法,0,x,y,0,x,y,a,b,A,B,a,b,A,B,几何特征：,定理：设函数y=f(x)在a、b上连续,在（a、b)内可导.,1）若在(a、b)内f(x)0，则y=f(x)在a、b上单调增加。,2）若在(a、b)内f(x)0，则y=f(x)在a、b上单调减少。,y=f(x),y=f(x),证明,f (x)0,f (x)0,证明,在(a、b)内任取两点x1,x2且x1x2.则在x1、
3、x2上 函数y=f(x)满足拉格朗日中值定理的条件。,f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1),(x1、x2),若f(x)0,则f()0 又x2-x10,f(x2)f(x1),y=f(x)在a、b上单调增加,同理可证：若f(x)0 ,则函数f(x)在a、b上单调减少,注：1）上述定理中间区间a、b若改为(a、b)或无限区间 结论同样成立。,2）若f(x)在(a、b)内的个别点的导数为零，其余的点 都有f (x)0(或 f (x)0)，则f(x)在(a、b)内满足单调 增加(单调减少).,例题,(A)例1.,判定y=x3的单调性,y=3x2,当x=0时 y=0,当x0时 y0,x(-,+),
4、y单调增加,0,x,y,(A) 例2.判断下列函数的单调性,下一页,解：,解：,1） 定义域为(-、+),2) f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),3)列表：,令 f(x)=0 得x1=1 x2=2,4）由表可知：函数的单调增区间为（-、12、+） 单调减区间为（1、2）。,x,y,y,(-、1),+,1,0,（1、2）,-,+,(2、+),2,0,(B)练习2：确定函数y=2x3+3x2-12x+1的单调区间。,下一页,(C)例4：,解：,1）定义域为(-、-1)（-1、+).,3)列表:,(-、-2),+,-2,0,（-1、0）,-,0,0,+,(0、+),4） 由表可知函数的单调增区间为(-、-2)(0、+) 单调减区间为（-2、-1）（-1、0）。,x,y,y,（-2、-1）,-,返回,
