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1、第2章 个体风险模型,本章讨论保险人风险组合的总索赔额的分布函数。,总索赔（随机变量的和）的分布要用卷积，因此非常麻烦。常用到均值，方差，矩母函数，特征函数，母函数等。 有别于中心极限定理的近似方法。 风险随机变量往往不能用纯离散和连续随机变量来刻画。因此常用Riemann-Stieltjes积分。,2.1 引言,2.2 混合分布和风险,本节我们讨论保险风险的一些实例.由于纯离散随机变量和纯连续随机变量都不能描述这种风险，所以我们必须先拓展分布函数类,根据概率论的知识，任何一个分布函数都满足,离散型的随机变量,连续型的随机变量,在概率论中所学到的所有的随机变量要么为离散型要么为连续型，几乎无一
2、例外 然而保险领域却不总是这样许多被用来模拟保险理赔支付的分布函数有连续增长的部分，同时也有离散的、正的跳跃部分,设Z 代表某个保单的理赔支付，则有三种情况： 保单合同无理赔，因此Z=0 . 保单合同的索赔数额大于最大的保险金额M ，则Z =M . 保单合同产生正常的索赔数额，则0ZM.,如果假设X 是离散随机变量，Y是连续随机变量，,Riemann-Stieltjes积分 混合随机变量的分布,对于混合随机变量,其分布为：,因此,假设理赔支付X = 400和X = 200 的概率分别为0.05 和0.15 ，则有,例2.2.4（有索赔，且索赔额服从指数分布） 假设风险X有如下分布：,（1）X
3、的均值是多少？ （2）对于风险厌恶系数为a=0.01且具有指数效用函数的人，愿意为风险X 支付的最大保费为多少？,（1）,（2）如果被保险人使用的是参数为a = 0.01 的指数效用函数，则由（1.21）得到最大保费,：,同样的，X 可以表示成X = IB ，其中I 表示理赔支付次数(0或l ) , B 代表理赔支付因此，,为求X的分布函数F ，我们有,由此得,利用如下众所周知的方差分解准则，形如IB 的风险方差可以通过给定I , B 的条件分布来计算：,2.3 卷 积,在个体风险模型中，我们感兴趣的是多个保单总理赔S 的分布：,首先来计算X +Y 的分布函数：,连续形式的全概率公式,其中求和
4、是取遍所有使得 的x。,如果X 和Y 是连续型的，则,为求X + Y + Z的分布函数，我们在做卷积运算时所采用的卷积次序无关紧要,n 个独立同分布的随机变量之和的分布函数是共同边际分布F 的n 重卷积，记为,一个集合A 的示性函数定义为,对任意x , X 的分布函数可以表达为,对任意y , Y 的分布函数可以表达为,又 ，进而有,应用卷积公式得,例2.3.2 （离散分布的卷积）,例2.3.3 ( iid 均匀分布的卷积）,例2.3.4(泊松分布的卷积) 设 和 相互独立,对一个非负随机变量X ，其矩母函数定义为,其中h 为某个常数因为我们特别要用到矩母函数在0 点附近的小区间里的取值，所以要
5、求h 0 ,2.4 变换,随机变量的矩母函数与分布函数一一对应。,如果X 和Y 相互独立，则,对于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函数不存在但是特征函数总是存在的特征函数定义为,利用展开式可以得到,随机变量的特征函数与分布函数一一对应。,所以X 的k 阶矩等于,概率母函数（pgf）仅用于取值为自然数的随机变量，定义为,累积量母函数（cgf）其定义为,随机变量X 的偏度定义为,其中,累积量母函数、概率母函数、特征函数和矩母函数之间有如下的关系：,2.5 近似分布,这样，我们就可以用下式来逼近的分布函数：,例2.5.3（两种不同的近似）,假设1000 个男性年轻人购买了保险期间为一年的保单
6、每个投保人在一年内死亡的概率为0 . 001 ，且死亡发生的理赔支付为1 . 我们要计算这批保单总的理赔支付至少为4 的概率。,(3)正态近似,正态在这种情形下的估计很差！,选择伽玛分布的理由,伽玛分布包含了常见的一些分布，如指数分布G(1,)，卡方分布(k/2,1/2)等。 伽玛分布是不对称的，右拖尾分布。与保险精算中的风险的分布往往具有类似的性质。,密度函数：,矩及偏度：,矩母函数：,平移伽玛近似可以表述如下：,=0.01,Y（4，0.002) 2*0.002Y2(8),NP近似,对分布函数作展开，考虑分布的偏性而得到的一种近似的计算方法。,等价于，当 时，,例2.5.8（用NP 近似重新
7、计算例2.5.5） 我们用（2.62）决定资本量，以使资本以95的概率不小于理赔额S :,S 的95的分位点为,我们对 和 应用（2.63）,2 . 6 应用：最优再保险,一个保险人希望对20000 份一年期寿险保单寻求一个最佳再保险，这批保单按保险金额可以分为以下三种：,保险人希望通过对最佳自留额的选取，即每份保单的最大支付，尽量提高其在业务运营中能够满足其财务职责的概率 一次理赔中扣除自留额以外的剩余部分是由再保险人支付,例如，对于1.6 的自留额，保险金额为2 的某个被保险人死亡，该保险人赔偿1.6，再保险人赔偿0.4 收到保费后，保险人持有资金B 以应付理赔和支付再保险保费再保险保费是净保费的120% .,首先，置自留额为2 ，从保险人的角度看，保单是如下分布,保险人总的理赔数额S 的均值和方差分别为,由中心极限定理，我们得到成本超过可用资金B的概率（成本等于S 加上再保保费 ）,当自留额界于2 和3 之间时，这个概率如何? 对于给定的资金B 如何决定自留额以使保险人不破产的概率达到最大 ?,
