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1、第一章,二 、收敛数列的性质,一、数列极限的定义,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,例1 求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.,(3) 取Sn的极限，得曲边梯形面积：,(2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：,xi,二、数列的定义,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,播放,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接
2、近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,“无限接近”的等价含义: 想要xn与1有多接近, 就能有多接近.,想要|xn1|10,想要|xn1|104,想要|xn1|10k,想要|xn1| ,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例3 已知,例4,证,例5. 用数列极限的定义证明,证:,欲使,即,只要,因此 ,
3、取,则当,时, 就有,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设,证明,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,先考察不等式,因此，只要取,则当,时, 就有,故,例7.,证明,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,由,因此，只要取,则当,时, 就有,故,证: 用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1 ,从而,同理, 因,故存在 N2 ,使当 n N2 时, 有,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,1、唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,四、数列极限的性质,2、有界性,例如,有界,
4、无界,定理2 收敛的数列必定有界.,说明,由数列收敛的几何意义知落在(a-1, a+1)之外的只有有限项, 设此有限项为,令,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明: 此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,有,数列,定理2(收敛数列的有界性) 那么它 一定有界。,例4,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3、 收敛数列的保号性.,若,且,时, 有,证:,对 a 0 ,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3,
5、4、子数列的收敛性,注意：,例如，,*,定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,证: 设数列,是数列,的任一子数列 .,若,则,当,时, 有,现取正整数 K , 使,于是当,时, 有,从而有,由此证明,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此性质可知 ,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限 ,例如，,发散 !,则原数列一定发散 .,说明:,此例也说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列 .,五、小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个
6、趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P31 1， 3, 4, 6,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设,证:,显然,证明下述数列有极限 .,即,单调增,又,存在,“拆项相消” 法,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家.,他撰写的重
7、,差对九章算术中的方法和公式作了全面的评,注,指出并纠正了其中的错误 ,在数学方法和数学,理论上作出了杰出的贡献 .,他的 “ 割圆术 ” 求圆周率,“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”,它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要,极限思想 ., 的方法 :,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,
