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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 2015 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 一、选择题 下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的。 1截止到 2015 年 6 月 1 日，北京市已建成 34 个地下调蓄设施，蓄水能力达到 1 40 000 立方平米。将 1 40 000 用科学记数法表示应为 A14104 B1.4105 C1.4106 D0.14106 2实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 Aa Bb Cc Dd 3一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜色外无其他差 别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄
2、球的概率为 A B C D 4剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为 5 如图， 直线l1，l2，l3交于一点， 直线l4l1， 若1=124， 2=88， 则3 的度数为 A26 B36 C46 D 56 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 6如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM 的长 为 1.2km，则 M，C 两点间的距离为 A0.5km B0.6km C0.9km D1.2km 7某市 6 月份日平均气温统计如图所示，则在日平均气温这组 数据中，众数和中位数分别是 A21，21 B21，21.5 C21，22 D22
3、，22 8 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建 筑分布图。 若这个坐标系分别以正东、 正北方向为x轴、 y轴的正方向。表示太和门的点坐标为（0，-1） ，表示 九龙壁的点的坐标为（4，1） ，则表示下列宫殿的点的 坐标正确的是 A景仁宫（4，2） B养心殿（-2，3） C保和殿（1，0） D武英殿（-3.5，-4） 9一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 A 类 50 25 B 类 200 20 C 类 400 15 例如，购买 A 类会员卡，一年内游泳 20
4、次，消费 50+2520=550 元，若一年内在该 游泳馆游泳的次数介于 4555 次之间，则最省钱的方式为 A购买 A 类会员年卡 B购买 B 类会员年卡 C购买 C 类会员年卡 D不购买会员年卡 10一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，通道由在同一平面内的 AB，BC，CA，OA， OB，OC 组成。为记录寻宝者的进行路线，在 BC 的中点 M 处放置了一台定位仪器， 设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且 表示y与x的函数关系的图象大致如图 2 所示，则寻宝者的行进路线可能为 AAOB BBAC CBOC DCBO 二、填空题 11分解因式：5x2
5、-10 x2=5x=_ 12右图是由射线 AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，则1+2+3+ 4+5=_ 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 13 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学 的基本框架。它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术。其 中，方程术是九章算术最高的数学成就。 九章算术中记载： “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两。问牛、羊 各直金几何？” 译文：“假设有 5 头牛、2 只羊，值金 10两；2 头牛、5 只羊，值金 8 两。问每头牛、 每只羊各值金多少两” 设每头牛值金x，每只羊各值金y两，可列方程组为_ 14 关于 x 的一元二次方程ax2
6、+bx+=0 有两个相等的实数根， 写出一组满足条件的实数a， b的值：a=_，b=_ 15 北京市 2009-2014 年轨道交通日均客运量统计如图所 示。根据统计图中提供信息，预估 2015 年北京市轨道 交通日均客运量约_万人次，你的预估理由是 _ 16阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线 已知：线段 AB 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 小芸的作法如下： 老师说：“小芸的作法正确” 请回答：小芸的作图依据是_ 三、解答题（本题共 72 分，第 1726 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分， 第 29 题 8 分）
7、17. 计算： 20 1 ( )(7)324sin60 2 +。 18. 已知 2 2360aa+ =. 求代数式3 (21) (21)(21)aaaa+的值。 如图， （1）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 19. 解不等式组 4(1)710 8 5 3 xx x x + ，并写出它的所有非负整数解 。 20. 如图，在ABC中，ABAC=，AD是BC边上的中线，BEAC于点E。 求证：CBEBAD=。 21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到
8、 2013 年底，全市已有公租自行车 25000 辆，租赁点 600 个，预计到 2015 年底，全市将 有公租自行车 50000 辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每个租 赁点的公租自行车数量的 1.2 倍。预计到 2015 年底，全市将有租赁点多少个？ 22. 在 YABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在边CD上，DFBE=，连接AF， BF。 (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若3CF =，4BF =，5DF =，求证：AF平分DAB。 A B C D E 一 寸 光 阴 不 可 轻 7 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线(0)ykxb k=+与
9、双曲线 8 y x =的一个交点为 (2,)Pm，与x轴、y轴分别交于点A，B。 (1)求m的值； (2)若2PAAB=，求k的值。 24. 如图，AB是O的直径，过点B作O的切线BM，弦/ /CDBM，交 AB 于点 F， 且DADC=，链接AC，AD，延长AD交BM地点E。 (1)求证：ACD是等边三角形。 (2)链接OE，若2DE =，求OE的长。 A B C D E F A B C D E F M O 一 寸 光 阴 不 可 轻 8 25. 阅读下列材料： 2015 年清明小长假， 北京市属公园开展以“清明踏青， 春色满园”为主题的游园活动， 虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高
10、，市属公园游客接待量约为 190 万人次， 其中玉渊潭公园的樱花，北京植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别 为 38 万人次、21.75 万人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与 满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为 26 万人次，17.6 万人次；北京动物园 游客接待量为 18 万人次，熊猫馆的游客密集度较高。 2014 年清明小长假，天气晴好，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为 200 万人 次，其中，玉渊潭公园游客接待量比 2013 年清明小长假增加了 25%；颐和园游客接待量 为 26.2 万人次， 比 2013 年清明小长假增加了 4.
11、6 万人次；北京动物园游客接待量为 22 万 人次。 2013 年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待量分别为 32 万 人次、13 万人次、14.9 万人次。 根据以上材料回答下列问题： (1)2014 年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为_万人次。 (2)选择统计表或 统计图，将 20132015 年玉渊潭公园、颐和园和北京动物园的游客接待 量表示出来。 26. 有这样一个问题：探究函数 2 11 2 yx x =+的图象与性质。 小东根据学习函数的经验，对函数 2 11 2 yx x =+的图象与性质进行了探究。 一 寸 光 阴 不 可 轻 9 下面是小东的探究过程，请
12、补充完成： (1)函数 2 11 2 yx x =+的自变量x的取值范围是_； (2)下表是y与x的几组对应值。 x 3 2 1 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 y 25 6 3 2 1 2 15 8 53 18 55 18 17 8 3 2 5 2 m 求m的值； (3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，格局 描出的点，画出该函数的图象； (4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 3 (1, ) 2 ，结合函数的图 象，写出该函数的其他性质（一条即可） ：_。 y 6 5 4 3 2 1 1 2 4 3 x O -4 -3
13、-2 -1 -1 -2 -3 -4 y 6 5 4 3 2 1 1 2 4 3 x O -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 备用图 一 寸 光 阴 不 可 轻 10 27. 在平面直角坐标系xOy中， 过点(0,2)且平行于x轴的直线， 与直线1yx=交于点A， 点A关于直线1x =的对称点为B，抛物线 2 1: Cyxbxc=+经过点A，B。 (1)求点A，B的坐标； (2)求抛物线 1 C的表达式及顶点坐标； (3)若抛物线 2 2: (0)Cyaxa=与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取 值范围。 28. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（
14、与点C、D不重合）， 连接AP，平移ADP，使点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H， 连接AH，PH。 (1)若点 P 在线段 CD 上，如图 1。 依题意补全图 1； 判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明； 一 寸 光 阴 不 可 轻 11 (2)若点P在线段CD的延长线上，且152AHQ=，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出 求DP长的思路。 （可以不写出计算结果 ） 29. 在平面直角坐标系xOy中，C的半径为r，P是与圆心C不重合的点， 点P关于O 的反称点的定义如下：若在射线 CP 上存在一点 P ，满足2CPCPr+=，则称 P 为点P 关于C的反称点，下图为点P及其关于C的反称点 P 的示意图。 A B C D P A B C D 图 1 备用图 一 寸 光 阴 不 可 轻 12 (1)当O的半径为 1 时。 分别判断点(2,1)M， 3 ( ,0) 2 N，(1, 3)T关于O的反称点是否存在，若存在？ 求其坐标； 点P在直线2yx= +上，若点P关于O的反称点 P 存在，且点 P 不在x轴上， 求点P的横坐标的取值范围； (2)当C的圆心在x轴上， 半径为 1，直线 3 2 3 3 yx
