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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 第一节第一节 集合集合 一、集合有关概念一、集合有关概念 1.1. 集合的含义集合的含义: : 集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其 中每一个对象叫元素 2.2. 集合的中元素的三个特性：确定性集合的中元素的三个特性：确定性 互异性互异性 无序性无序性 (1)元素的确定性确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性无序性如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.3.集合的表示：集合的表示： (1)用拉丁字母表示集合：
2、A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法 描述法和图示法。 1 1） 列举法：列举法：a,b,ca,b,c 2 2） 描述法：描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法。xR| x-32 ,x| x-32 分为：符号描述法： 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 注：注：描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集。 3 3） 图图示法示法: : 分为：区间法：用开区间 闭区间以及半开（半闭）区间表示 Venn 法： 注意：常用数集及其记法：注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N N 正整数集 *N或 + N
3、整数集 Z Z 有理数集 Q Q 实数集 R R 4 4、集合的分类：、集合的分类： 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例：x|x 2=5 二、集合间的基本关系二、集合间的基本关系 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 1 1.“包含”关系“包含”关系子集子集 BA 表示 A 包含于 B 或者说 B 包含 A 注意： BA 有两种可能（1）A 是 B 的一部分， ； （2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2 2 “相等”关系： “相等”关系： 集合相等的定义：集合相
4、等的定义：如果 AB 同时 BA 那么 A=B (55 且 55，则 5=5) 自反律：自反律：任何一个集合是它本身的子集。AA 实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 真子集真子集: :如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 AB (或 BA) 传递传递律律：如果 AB, BC ,那么 AC 3. 3. 空集：空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定规定: : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 4 幂集：幂集：有 n 个元素的集合，含有 2 n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算三、集合的运算 运算运算
5、 类型类型 交交 集集 并并 集集 补补 集集 定定 义义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的交集交集记作记作 A AB B （读作A 交 B ） ， 即即 A AB=B=x|xx|xA A， 且且 x xB B 由所有属于集合A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做 A,B 的并集并集记作：记作： A AB B （读作 A并B ） ， 即即 A AB =x|xB =x|xA A， 或或 x xB)B) 设 S 是一个集合， A 是 S 的一 个子集， 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集补集（或余集）或余集） 记作记作A
6、CS，即，即 C CS SA=A=,|AxSxx且 韦韦 恩恩 图图 示示 AB 图 1 A B 图 2 性性 质质 A AA=A A=A A A= = A AB=BB=BA A A AB BA A A AB BB B A AA=AA=A A A=A=A A AB=BB=BA A A AB B A AB BB B (C(Cu uA) A) (C(Cu uB)B) = C= Cu u (A(AB)B) (C(Cu uA A) ) (C(Cu uB)= CB)= Cu u(A(AB)B) A A (C(Cu uA)=UA)=U A A (C(Cu uA)= A)= 四、一些基本集合恒等式四、一些基
7、本集合恒等式 S A 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 1 1结合律：结合律： （A AB B）C= AC= A（B B C C） ；） ； （A AB B ）C=AC=A（B B C C） 2 2分配律：分配律：A A（B BC C）= =（A AB B）（A AC C） ；） ； A A（B BC C）= =（ A AB B ）（A AB B） 3 3吸收律：吸收律：A A（A AB B）= =A A； A A（A AB B）=A=A 4 4德德摩根定律摩根定律（反演律反演律） ：） ：(C(Cu uA) A) (C(Cu uB) = CB) = Cu u (A(AB)B)； A A (C(
8、Cu uA)=UA)=U (C(Cu uA)A) ( (C Cu uB)= CB)= Cu u(A(AB)B)； A A (C(Cu uA)= A)= C Cu u (C(Cu uA)A)=A=A 五容斥定理：五容斥定理： 原理原理 1 1：如果被计数的事物有 A、B 两类，那么，A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类 元素个数+ 属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数。 cardcard（A AB B ）= = cardcard（ A A）+ + cardcard（B B ）- - card (Acard (AB)B) 原理原理 2 2：如果被计数的事物有 A、B、C 三
9、类，那么，A 类和 B 类和 C 类元素个数总 和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类 而且是 C 类的元素个数。 （A AB BC C ）= A+B+C = A+B+C - - A AB B - - B BC C - - C CA + A + ( (A AB BC C） 第二节第二节 函数的有关概念函数的有关概念 1 1映射映射的概念的概念 1 1). 映射映射的的定义定义: A,B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的 任何
10、一个元素 x ，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应,那么这样的对应叫 做集合 A 到集合 B 的映射.记做记作“f（对应关系） ：A（原象）B（象） ” 对于映射对于映射f f：A AB B来说，则应满足：来说，则应满足： (a)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (b)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (c)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 2 2). 一一映射：一一映射：设 A，B 是两个集合，f：AB 是从集合 A 到集合 B 的映射，并 且对于集合 B 中的不同元素，在集合 A 中都有且只有一个原象，这时我们说 这两个元素
11、之间存在一一对应关系， 并称这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的 一一映射。所以，一一映射是特殊的映射，而且如果 f：AB 是一一映射， 那么 g：BA 是映射。 2 2函数的概念函数的概念 1 1) .函数的函数的定义定义:设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对 于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：记作： y=f(x)y=f(x)，x xA A其中， x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的
12、y 值叫做 函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2 2) .函数的函数的三要素：三要素：定义域、对应关系和值域。 定义域：定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域 是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还
13、要保证实际问题有意义. (8)三角函数中的正切函数 值域值域 : : 先考虑其定义域先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3 3) . 函数的表示法：函数的表示法：列表法、图象法、解析法 3.相同函数的判断方法相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） ； 定义域一致 (两点必须同时具备) ( (见课本见课本 2121 页相关例页相关例 2)2) 4 4. . 函数图象知识归纳函数图象知识归纳 (1)(1)定义：定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函 数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(
14、x),(x A)的图象C 上 每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组 有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) (2) 画法画法 A 描点法： B 图象变换法 1) 平移变换 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 2) 伸缩变换 3) 对称变换 5 5区间的概念区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 6.6.分段函数分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补
15、充：复合函数补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为 f、g 的复合函数。 第三节第三节 函数的性质函数的性质（单调性、奇偶性与周期性）（单调性、奇偶性与周期性） 1.1.函数的单调性函数的单调性( (局部性质局部性质) ) （1 1）单调单调函数函数的定义的定义 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单 调增区间. f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的 单调减区间。 注意：注意：函数的单调性是函数的局部性质； （2 2）单调区间的定义）单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数。 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区
