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1、 多项式乘以多项式教学中的最常见问题之一漏项的反思与对策(丹棱二中何天成，眉山初中数学三班)俗话说，“儿女情长，人生苦短。”从教快近三十年，平常自己的学习、工作、生活总也显得忙忙碌碌，却鲜有时间和精力去回顾、反思、总结这么多年来自己所走过的路。驻足回望，不知不觉间，人已步入中年。回首这 20 多年来的从教生涯，它既没有像苏东坡所看到的丙辰中秋那样的撩人明月，也不可能有像这深秋的夜空中从眼前划过的流星般散落的点点星光，只是偶尔眨眨眼时，似乎才会感觉到了它自己的存在。反思这 20 多年的教师经历，既有收获时的暗自喜悦，也有孤寂和落寞时的悲哀、愤怒和无奈；总结这 20 多年的师道历程，一些知识或内容
2、的处理，一直以来都是自己的一块“心病”，长存“心中的痛”，总也挥之不去。一、提出问题（是什么?）多项式与多项式相乘，一直以来，相当一部分同学总也搞不明白、弄不清楚，为什么自己就老是出问题，不是这里漏一项，就是那里漏一项，两个多项式相乘，究竟应该有多少项？如何才能做到既不漏又不重？二、分析问题（为什么?）针对这个问题，个人冥思苦想了很久，究竟创设一个怎么样的情景，学生才能理解多项式乘以多项式的法则“多项式乘以多项式，等于用其中一个多项式的每一项去依次乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。”呢?这里的几个关键词“每一项”、“依次”、“每一项”如何理解?个人认为， 重点是对多项式乘以多项式结果
3、项数的整体上或说宏观上的把握；难点是多项式乘以多项式计算时的具体操作；三、解决问题（怎么办?）最近，由于 2012 年的国培学习机会，逼着自己不得不停下来思考。突然有一天，脑子里闪现一个图景、一个问题-现在，不是有很多男同学喜欢足球吗？任何一场正式的国际足球比赛开始之前，按程序都要经过下面四个环节：双方队员入场；奏两国国歌；双方队员握手互致问候；双方队长在裁判的指导和监督下，猜币挑选场地。这其中的第三个环节（双方的每一个队员都要与对方的每一个队员握手致意），这个过程、这个图景怎么就那么与多项式乘以多项式的情形吻合呢？如果我们“定义”每一次双方队员的握手即为一次单项式与单项式的乘法的话，情况确实
4、如此。于是，自己尝试着做了下面的一个实验：把全班 42 名同学按性别分成两组，24 名男生站成一排是一组，18 名女生站成一排为另一组，就像正式的国际足球比赛一样。接着我提出要求，每一位男同学必须与每一位女同学握一次手或者说每一位女同学必须与每一位男同学握一次手。握手时，请大家一定注意仔细观察、思考，并回答下列几个问题：第一位男同学依次与所有或说每一位女同学各握了一次手，他一共握了多少次手？（答案：18 次）第二位男同学也依次与所有或说每一位女同学各握了一次手，他一共握了多少次手？（答案：18 次）第三位、第四位呢？第五位呢?-，第二十四位呢？（答案：都是 18 次）每一位男同学依次与每一位女
5、同学都握手一次后，他们全班总共一起握手的次数是多少？（答案：1824 次）第一位女同学依次与所有或说每一位男同学各握了一次手，她一共握了多少次手？（答案：24 次）第二位女同学依次与所有或说每一位男同学各握了一次手，她一共握了多少次手？（答案：24 次）第三位呢？第四位呢？第五位呢?-，第十八位呢？（答案：都是 24 次）每一位女同学依次与每一位男同学都握手一次后，她们全班总共一起握手的次数是多少？（答案：2418 次）一般地，在这种情况下，如果全班有 m 名男同学、n 名女同学，要求全班每一位男同学都必须与每一位女同学握一次手，或者说，全班每一位女同学都必须与每一位男同学握一次手，那么，他们
6、或她们全班一共握手多少次？（答案：mn 次）与此类似，一般地，一个 m 项的多项式与一个 n 项的多项式相乘，即(A1+A2+-+Am)(B1+B2+-+Bn)，其结果（在没有合并同类项之前）一共应该有多少项呢？（答案：mn 项）相信通过上面这个实验的感受和这一系列问题的思考，大多数甚至绝大多数同学应该搞清楚了、弄明白了或者说理解了在我们教师看起来挺简单、然而在一部分学生眼里却那么晦涩难懂的法则中的那句话“多项式乘以多项式，等于用其中一个多项式的每一项去依次乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。”从而从根本上解决了多项式乘以多项式的计算中很多学生暴露出来的一个非常突出的问题“-对多项式乘
7、以多项式结果项数的把握”，避免出现漏项。多项式乘以多项式，也可以用分配律转化成单项式乘以多项式，再用分配律转化成单项式乘以单项式，不过，这样的话，就会看到有两个问题值得大家思考：多项式乘以多项式的计算问题，最终都是基于单项式乘以单项式的计算，因此，单项式乘以单项式的计算是基础，必须牢牢掌握；由于用分配律须经两次转化才能成为单项式乘以单项式，即便如此，我们还是感觉过程仍显繁琐。因为这里存在的第二个问题，所以多项式乘以多项式的计算，习惯上并不采取用分配律去转化，而是直接用法则“多项式乘以多项式，等于用其中一个多项式的每一项去依次乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。”这样，就很可能出“漏乘”或说“漏项”的问题。当然，多项式乘以多项式，除了这个非常突出的项数的宏观整体把握外，还有一个“符号问题”也不容忽视。
