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1、一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面和法线,第六节 多元函数微分学的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法,位置.,空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限,平面.,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,设tt0和tt0t分别对应于曲线上的 点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z),当MM0, 即t0时,作曲线的割线MM0,其方程为,得曲线在点M0处的切线方程为,一、空间曲线的切线与法平面,设空间曲线的参数方程为 x(t), y(t),
2、 z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在 上可导,过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为,向量T(j(t0), y(t0), w(t0)称为曲线在点M0的切向量.,通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面, 其法平面方程为 j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0.,一、空间曲线的切线与法平面,例1.,求圆柱螺旋线,对应点处的切线方程和法平面方程.,切线方程,法平面方程,即,即,解: 由于,对应的切向量为,在, 故,讨论:,1. 若曲线的方程为yj(x), zy(x), 则切向量T?,提示: 1. 曲线的参数方程可视为: xx, yj(x), z
3、y(x), 切向量为T (1, j(x), y(x).,曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0), y(t0), w(t0).,2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T?,2. 两方程可确定两个隐函数: yj(x), zy(x).,切向量为T (1, j(x), y(x), 而j(x), y(x)要通过解方程组得到.,例2. 求曲线,在点,M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程.,解. 方程组两边对 x 求导, 得,曲线在点 M(1,2, 1) 处有:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点
4、M (1,2, 1) 处的切向量,二、曲面的切平面与法线,设 有光滑曲面,通过其上定点,对应点 M,切线方程为,不全为0 .,则 在,且,点 M 的切向量为,任意引一条光滑曲线,下面证明:,此平面称为 在该点的切平面., 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都,在同一平面上.,证:,在 上,得,令,由于曲线 的任意性 ,表明这些切线都在以,为法向量,的平面上 ,从而切平面存在 .,曲面 在点 M 的法向量,法线方程,切平面方程,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别, 当光滑曲面 的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假
5、定法向量方向,分别记为,则,向上,例3. 求椭球面,在点(1 , 2 , 3) 处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,解,切平面方程为,法线方程为,例4求旋转抛物面,在点(2,1,4),处的切平面及法线方程.,例5. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,例6. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,作业：p-45 习题8-6 2，3，4，5，8,
