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1、第六节 方向导数与梯度,一、方向导数 二、梯度 三、总结,一、方向导数,设函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 与l同方向的单位向量为el(cos cos),方向导数,如果函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l (el(cos cos)的方向导数都存在, 且有,定理(方向导数的计算),讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的方向导数如何?,提示,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,对于三元函数f(x y
2、z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos)的方向导数为,函数f(x, y)在点P0沿方向l (el(cos cos)的方向导数,如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分, 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos)的方向导数为,例2 求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60,解,与l同向的单位向量为,因为函数可微分 且,所以,fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3,fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3,fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2,函数在一点的
3、梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,二、梯度,梯度的定义,函数zf(x, y)在点P0(x0 y0)的梯度: gradf(x0 y0)fx(x0 y0)ify(x0 y0)j,梯度与方向导数,|gradf(x0 y0)|cos(gradf(x0 y0),el),如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos)是与方向l同方向的单位向量, 则,提示,梯度与等值线的关系,对于二元函数zf(x y) xOy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线,若fx fy不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P
4、0(x0 y0)处的一个单位法向量为,这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同,对于二元函数zf(x y) xOy面上的曲线f(x, y)c称为函数zf(x, y)的等值线,若fx fy不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为,梯度与等值线的关系,而沿这个方向的方向导数等于|grad f(x0 y0)| 于是,梯度与等值线的关系,函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在 这个法线方向的方向导数,于是 grad f(1, 1, 2),例4 设f(x, y, z)x2y2z2, 求grad f(1, 1, 2),解,grad f(fx, fy, fz),(2x, 2y, 2z),(2, 2, 4),数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的数量f(M), 则称在这空间区域G内确定了一个数量场.,如果对于空间区域G内的任一点M, 都有一个确定的向量F(M), 则称在这空间区域G内确定了一个向量场.,一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定.,一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定, 而 其中P(M), Q(M), R(M)是点M的数量函数.,
