学习高斯公式与斯托克斯公式教学案例

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1、高斯公式,物理意义-通量与散度,flux,divergence,高斯 (Gauss)公式通量与散度,高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家,一、高 斯 公 式,具有,则有公式,一阶连续偏导数,或,高斯公式,外侧,解,例,外侧.,例,计算曲面积分,之间,下侧.,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空间曲面在xOy面上的,曲面 不是,为利用高斯公式.,投影域为,补,构成封闭曲面,使用高斯公式.,封闭曲面,先二后一法,故所求积分为,使用Guass公式时易出的差错:,(1) 搞不清,是对什么变量求偏导;,(2) 不满足高斯公式的条件, 用公式计算;,(3) 忽略

2、了,的取向,注意是,取闭曲面的,外侧.,高斯公式,1. 通量,为向量场,设有一向量场,则称沿场中有向曲面某一侧的曲面积分:,通量.,flux,divergence,穿过曲面这一侧的,二、物理意义 通量与散度,通量的计算公式,2.散度,设有向量场,为场中任一点,在P点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面,它所围成的小区域及其体积记为,表示,内穿出的通量,若当,缩成P点时,极限,记为,散度.,存在,则该极限值就称为向量场,在P点处的,即,散度的计算公式,设,均可导,点处的散度为,高斯公式,例,向量场,解,解,(如图),练习,计算曲面积分,绕y轴旋转曲面方程为,一周所成的曲面,它的法向量与y轴正向的

3、夹角,绕y轴旋转,取右侧.,有,高斯公式,取右侧,故,斯托克斯(stokes)公式 环流量与旋度,斯托克斯公式,物理意义-环流量与旋度,circulation,curl,一、斯托克斯(Stokes)公式,斯托克斯公式,定理,为分段光滑的空间有向闭曲线,是以,边界的分片光滑的有向闭曲面,具有一阶连续偏导数,则有公式,的正向与的侧符合右手规则:,当右手除拇指外的四指依 的绕行方向时,是有向曲面 的 正向边界曲线,右手法则,拇指所指的方向与上法向量的指向相同.,是有向曲面的正向边界曲线.,称,另一种形式,便于记忆形式,解,按斯托克斯公式,计算曲线积分,例,其中,被三坐标面所截成的,三角形的整个边界,

4、它的正向与这个三角形上侧,的法向量之间符合右手规则.,有,解,则,计算曲线积分,例,其中,截立方体:,的表面所得的截痕,若从Ox,轴的正向看去,取逆时针方向.,取为平面,的上侧被所围成的部分.,即,1.环流量的定义,circulation,curl,环流量.,二、物理意义-环流量与旋度,设向量场,2. 旋度的定义,Stokes公式的物理解释,环流量,斯托克斯公式,曲线积分与路径无关保守场与势函数,空间曲线积分与路径无关,物理意义-保守场与势函数,定理,在单连通空间开区域 上,函数,具有,连续的一阶偏导数,则以下四个命题等价.,一、空间曲线积分与路径无关,验证曲线积分,例,与路径无关,其中 是从点(1,2,3)到点(4,5,6),的一条光滑曲线弧,并计算其积分值。,解,积分与路径无关,有,保守场:场内第二类曲线积分与路径无 关,只与起点和终点有关的场,向量场 为保守场,势函数:函数u称为向量场 的势函数(原 函数),

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