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1、初中数学知识和能力 总复习之图形部分 圆,学而不疑则怠，疑而不探则空,(一)圆的有关概念,1、圆的定义：,第一部分 圆的概念与性质,在一个平面内，线段OA 绕其固定的端点O旋转一周， 另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。,O,A,以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”.,圆也可以看作是在平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。,O,【圆心定位置，半径定大小】,同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆。,等圆：半径相等，圆心不同的多个圆。 即能够重合的圆。,有两个同心圆，小圆的半径为2cm，大圆的半径为3cm，大圆上一点P与小圆上一点Q的距离PQ的取值
2、范围是 .,Q,P,【及时巩固】,O,PQ最小值为 OP-OQ=3-2=1cm；,Q,PQ最大值为 OP+OQ=3+2=5cm.,PQ的取值范围是1cmPQ5cm.,2、圆的确定：,不在同一条直线上的三个点确定一个圆。,A,B,C,O,两点定线， 三点定圆.,3、圆的概念：,(1)弦：连结圆上任意两点的线段。 如图中的弦AB、AC、BC. 其中，过圆心的弦叫直径。 图中的弦AB经过了圆心O，AB为O的直径。,B,A,C,O,直径是特殊的弦；,直径是一个圆的最长弦.,3、圆的概念：,(2)弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧， 简称弧，用符号“ ”表示。,圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条
3、弧都叫做半圆。,大于半圆的弧叫优弧.,小于半圆的弧叫劣弧.,同圆或等圆(半径相等的圆)中，能够互相重合的弧叫等弧。,注意：弧的相等要区别于线段的相等； 在同圆或等圆中，弧与弧之间才能加减.,3、圆的概念：,(3)弦心距：圆心到弦的距离. 如图1中的OM。,M,(4)圆心角：顶点在圆心的角. 如图2中的AOB,AOC,BOC。,【圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.】,3、圆的概念：,(5)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆 相交的角.,思考：图中有几个圆心角？有几个圆周角？,(二)圆的有关性质,1、对称性：,圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。,圆是轴对称图形， 任意一条直径所
4、在的直线都是它的对称轴。,2、在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等；,旋转不变性的推导,(二)圆的 有关性质,如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等；,如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等或者等弦所对的优弧和劣弧分别相等。,在上图中， 若COD=AOB,则 ； 若CD=AB，则 ； 若CD=AB，则 .,CD=AB，,圆的性质既来自于对称性，又可以用以前所学知识证明.,COD=AOB，,CD=AB,COD=AOB，,(二)圆的有关性质,3、垂径定理：,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,推论：平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦
5、， 并且平分弦所对的弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；.,(二)圆的有关性质,垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“经过圆心； 垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧”这五个性质中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：组合有限制.,【及时巩固】,(二)圆的有关性质,4、半圆或直径所对的圆周角都等于90； 90的圆周角所对的弦是直径.,如图，若AB为直径，则ACB=APB= AQB=90；反之，若ACB=90(或APB=90或AQB=90)，则AB为直径.,P,Q,C,(二)圆的有关性质,4、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半
6、；相等的圆周角所对的弧相等。,如图:BOC=2BAC=2BPC=2BQC.,P,Q,C,(二)圆的有关性质,B,Q,C,D,A,则AOB=COD=2APB=2CQD.,P,反之，若APB=CQD，,【及时巩固】,P,d,=,P,d,P,d,【及时巩固】,2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.”先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的外接圆，再观察图形，填空： 任意三角形都有 个外接圆，任意一个圆都有 个内接三角形。 锐角三角形的外心在三角形的 ； 钝角三角形的外心在三角形的 ； 直角三角形的外心是
7、三角形的 。,一,无数,内部,外部,直角顶点,【及时巩固】,3、如图，O和P的半径相等， 若AOBCPD，则AB CD， 弦AB CD，弦心距OM PN。,O,C N D,【及时巩固】,4、(1)如图，A、B、C、D是O上顺次的四个点，若A=80,则BCD的外角DCE= ; (2)如图2，O中，弦AB、CD相交于点P， 求证：PAPB=PCPD； (3)如图3，O中，直径AB与弦CD相交于点P，且ABCD，试证明：PC2=PAPB.,80,先证PADPBC,(2)结合垂径定理,【及时巩固】,5、下列说法中正确的有 ： 长度相等的弧叫等弧： 平分弦的直径垂直于弦； 相等的圆周角所对的弧相等； 根
8、据“等弧对等弦”，由AB+BC=AC，得 弦AB+BC=AC； 若点P为圆中非圆心的一点，则过P点的直径一定垂直平分过P点的最短弦。,【及时巩固】,6、(1)如图1，点P为O内一点，弦AC、BD 相交于点P，若AB的度数为135, CD的度数为29，则APB的度数为 ; (2)如图2,点P为O外一点，APB的两边分别 和圆交于A、C，B、D，若AB的度数为135， CD的度数为29，则APB的度数为 .,82,53,【及时巩固】,7、如图，AB、CD为O中两条平行弦，下列 结论中正确的有( )个.AD=BC；BD=AC；BD=AC；四边形ABCD为等腰梯形； ABDBAC；ACDBDC；APD
9、BPC；PABPCD；PAB和PCD均为等腰三角形。 当AB=CD时，你还能得到多少新的结论？写出来并证明其中一个。,8,四边形ABCD是矩形.,【及时巩固】,8、AB、CD为O中两条平行弦，AB=40厘米，CD=48厘米，O的半径为25厘米，则AB、CD之间的距离为 。,M,N,MN=OM-ON =8cm,M,N,MN=OM+ON =22cm,8cm或22cm,【及时巩固】,9、O中，AB:BC:CA=2:3:4，则ABC的各内角度数为 ；在圆内接四边形ABCD中，AB:BC:CD:DA=1:2:3:4，则A:B:C:D = 。,40、60、80,90、126、90、54,80,120,16
10、0,36,72,108,144,【及时巩固】,10、下列语句正确的是（ ） A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的所有点组成的图形； B.圆的内部可看作是到定点的距离小于定长的点组成的； C.圆的一部分叫做弧； D.能够互相重合的弧叫等弧； E.平分一条弧的直线垂直于该弧所对的弦； F.圆有无数个内接四边形，四边形都有一个外接圆。,【及时巩固】,11、O的弦CD与直径AB垂直于点M， 且AM:BM=1:4,则BC：CA等于 。,M,BMCCMA,CM2=AMBM=4,BC:CA=BM:CM=2:1,2,【及时巩固】,12、AB是O的直径，CD是弦，AB、CD的延长线交于E点，AB=2DE，E=
11、18，则COA的度数为 。,E,DOE=E=18,CDO=36,COA=OCD+E=54,OCD=CDO=36,54,【及时巩固】,13、如图,已知AB、CD是O的弦，AB=CD，延长AB、CD相交于E，求证：EO平分AEC.,E,证明：如图,过点O分别OMAB 于点M，ONCD于点N.,O中，AB=CD，,EO平分AEC.,M,N,OM=ON.,OE=OE，,RtOMERtONE,OEM=OEN,【及时巩固】,14、如图,已知AB为半圆的直径，弦AD、BC 相交于点P，那么 等于BPD的( ) A.正弦 B.余弦 C.正切 D.余切,连结BD, 可得RtBDP.,易证CPDAPB,B,【及时
12、巩固】,15、如图,AD是O内接ABC的高,AE是圆的直径,AB= ，AC= ,则AEAD等于 .,E,如图，连结BE，可得RtABE.,AB:AD=AE:AC,易证ABEADC,AEAD=ABAC,【及时巩固】,16、如图，O的直径AB垂直于弦CD，弦AE、CD的延长线相交于点F，连结AC、CE,求证：ACCF=AFCE.,证明：连结BC,可得RtACB.,ABC=90-BCD =ACF,AECACF,ACCF=AFCE.,又ABCD,AC:AF=CE:FC,AEC=ABC=ACF.,又EAC=CAF,【及时巩固】,17、如图，过O的圆心O的直线AB交圆于C、D两点，并且使直径CD=AC=B
13、D，P为O上任意一点，求tanAPCtanBPD的值.,m,n,m,m,n,n,tanAPCtanBPD=,【及时巩固】,18、如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB与CD相交于E，AEC=45，且O的半径是r，求证：EC2+ED2=2r2。,ECED=EAEB,H,CH2+OH2=OC2,【及时巩固】5.16正看,19、如图，圆内接四边形ABCD中，A=60， B=90，AB=2，CD=1，求AD和BC的长。,2,1,2,4,AD=4-,BC=,【及时巩固】,20、如图，已知RtABC是O的内接三角形， BAC=90，AHBC于D，过点B作弦BF 交AD于点E，交O于点F，且AE=BE.
14、(1)求证：AB=AF；(2)若BEEF=32，AD=6，求BD的长。,EAEH=EBEF=32,EA+EH=AH=2AD=12,EA=4=EB,ED=2,BD=,【及时巩固】,21、如图，已知在 ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=0.8，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F(点F在点E的右侧)，射线CE与射线BA交于点G. (1)当圆C经过点A时，求CP的长； (2)连结AP，当APCG时，求弦EF的长.,5,3,5,4,(2)当APCG时，易得APCE为菱形.,H,在RtCHE中，,HE2+32=(4-HE)2,HE=,1、如图，已知AB是O的直径，点D在弦
15、AC上，DEAB于E. 求证：ADAC=AEAB。,中 考 试 题 精 选,提示：连结BC,证BCADEA.,2、如图所示，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F,且AE=BF.请找出线段OE与OF的数量关系，并给以证明。,中 考 试 题 精 选,提示：过圆心作弦AB的弦心距，由垂径定理可得.,3、如图，设点D、E分别为ABC的外接圆的 AB、AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G，求证：AFAG=DFEG.,中 考 试 题 精 选,提示：连结AD、AE,证ADFEAG.,中 考 试 题 精 选,4、如图，O是ABC的外心，弦AB的垂直平分线与AB和AC分别交于点M、N，与BC边的延长线交于点P，求证：OA2=ONOP。,AOM=ACB,OAN=OPB,OPA=OPB=OAN,OPAOAN,OP:OA=OA:ON,OA2=ONOP,5、如图，在ABC中，ABC=ACB， A=100，BE是B的平分线.求证： AE+BE=BC.,中 考 试 题 精 选,A,E,提示：截长、补短,6、如图，BC为半圆O的直径，F是半圆上异于 B、C的一点，A是BF的中点，ADBC于点D，BF交AD于点E. (1)求证：BEBF=BDBC； (2)试比较线段BD与AE的大小，并说明理由。,
