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1、一、函数的连续性,1.函数的增量,第六节 函数连续与间断,增量可为正,也可以为负,2.连续的定义,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例3,解,4.连续函数与连续区间,定义4 在开区间上每一点都连续的函数,叫做在该开区间上的连续函数,或者说函数在该开区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例4,证,1、四则运算的连续性,定理1,例如,二、连续函数的运算与初等函数的连续性,定理3,证,2、复合函数的连续性,将上两步合起来:,意义,1.极限符号可以与函数符号互换;,定理2,例如,2、复合函数的连续性,例1,解,同理可得,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6
2、一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,3、初等函数的连续性,1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,在0点的邻域内没有定义.,注意,例2,解,注意2. 初等函数求极限的方法代入法.,例3,解,例4,解,例5,解,三、函数的间断点,1.跳跃间断点,例1,解,第一类间断点,2.可去间断点,例2,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例2中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例3,解,例4,解,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,判别间断点的一般判断步骤： （1）找出间断点（有些题已给出）. （2）求极限，先判断是否为第二类间断点. （3）若不是，再看是否为第一类间断点（跳跃间断点或可去间断点）。,解,因为函数在x2和x1处无定义, 所以x2和x1是函数的间断点.,所以x2是函数的第二类间断点.,所以x1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点.,在x1处, 令y2, 则函数在x1处成为连续的.,
