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1、北京邮电大学数学系,1,第三节,函数的极限,考察自变量在某个变化过程中，,的变化趋势,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节 内容,三、函数极限的性质,北京邮电大学数学系,2,一、自变量趋于有限值时函数的极限,引例1,考虑函数,引例2,考虑函数,北京邮电大学数学系,3,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,定义1 .,设函数,北京邮电大学数学系,5,例1. 证明,常数在任意变化过程中的极限都是本身。,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要
2、,求差,满足条件,北京邮电大学数学系,6,例3. 证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,函数在某变化过程是否存在极限与函数 在该点是否有定义无关，,因为函数极限是考察函数在某去心邻域内的变化趋势。,练习 p38 5-(1),北京邮电大学数学系,7,例4. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,北京邮电大学数学系,8,适当放大求出合适的,欲使,只要,则当,必有,例5.证明:,证:,北京邮电大学数学系,9,例如,2. 单侧极限:,北京邮电大学数学系,10,左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,左极限与右极限统称为单
3、侧极限。,北京邮电大学数学系,11,定理,但不相等，,当,时, 有,当,时, 有,则当,必有,证明：,北京邮电大学数学系,12,例6. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理.,因为,显然,所以,不存在.,练习 p38 T4,北京邮电大学数学系,13,解,练习：设函数,问a为何值时，,存在。,1,例7.,北京邮电大学数学系,14,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,3、自变量趋于无穷大时函数的极限,北京邮电大学数学系,15,定义2. 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,A 为函数,北京邮电大学数学系,16,例8. 证明,证:,取,因此,
4、注:,就有,故,欲使,只要,练习 p38 T8,北京邮电大学数学系,17,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,北京邮电大学数学系,18,命题：,例,若函数式中含有,要求 时的极限，考虑用极限存在的充要条件,北京邮电大学数学系,19,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,例3,是否一定有,？,北京邮电大学数学系,20,三、函数极限的性质,自变量的六种变化过程对应六种不同的邻域。,算上数列共有7种
5、变化过程中的极限,北京邮电大学数学系,21,定理2（函数极限的唯一性）,如果,存在，,则这个极限唯一.,局部性质：函数在某一邻域（空心邻域）内具,定理3（函数极限的局部有界性）,如果,则存在常数M 0和,使得当,时, 有,有的性质.,22,定理4 局部保号性定理,若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,则存在,(A 0),北京邮电大学数学系,23,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,分析:,北京邮电大学数学系,24,推论. 若在,的某去心邻域内, 且,则,证: 用反证法.,则由定理 4,的某去心邻域 ,使在该邻域内,
6、所以假设不真,思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,存在,如,假设 A 0 ,与已知条件矛盾,故,北京邮电大学数学系,25,（函数极限与数列极限的关系）,如果 f(x)在 上有定义, 则,的充要条件,且,证明,设,则,当,时, 有,又因,故对上述,由假设，,从而,即,必要性,定理5,北京邮电大学数学系,26,证明,充分性,即当 时,函数 f(x),不以A为极限. 即,存在,有,当,利用 的任意性, 特别取定,存在,有,当,且,函数极限与数列极限的关系,但,与已知条件相矛盾,故必有,北京邮电大学数学系,27,例如,北京邮电大学数学系,28,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,北京邮电大学数学系,29,的存在性 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,例9. 讨论,北京邮电大学数学系,30,小 结,函数极限的统一定义,(见下表),北京邮电大学数学系,31,北京邮电大学数学系,32,P37 T5(3, 4) ; T6(1); T12; P75: T8,课后练习题：,2.,3.,1.,4. 给出,函数有界性定理,作业,
