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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 第三章压弯构件的失稳 轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构 件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。 钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单 向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可 能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其 弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则 是极值点失稳。 对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力 P
2、和使构件 产生同向曲率变形的弯矩 M，如果在其侧向有足够的支撑 (如图 3.1（b）)，构件将发生平 面内的弯曲失稳，其荷载挠度曲线如图 3.2（a）中曲线 a，失稳的极限荷载为 Pu，属于极 值点失稳。,图 3.1 两端简支理想压弯构件,图 3.2 压弯构件荷载变形曲线,如果在侧向没有设置支撑（如图 3.1（），则构件在荷载 P 未达到平面内极限荷载 Pu 时，可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度 v，在平面外剪心产生位移，并绕 纵轴产生扭转角 （如图 3.（），其荷载变形曲线如图 3.2（b）中曲线 b，属于分支 点失稳，失稳的分荷载为 Pyw, ，且 Pyw Pu。 弯曲失稳一般
3、在弹塑性阶段出现，而弯扭失稳可能发生在弹性阶段，也可能出现在弹塑 性阶段。 3. 1压弯构件平面内失稳,对压弯构件，当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时，若失稳则只可 能发生平面内弯曲失稳。,1,一 寸 光 阴 不 可 轻 当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系，可以得到图3. 3 中的二阶弹性曲线b， 它以轴心受压弯构件的分岔点荷载 PE 处引出的水平线 a 为渐近线。 实际压弯构件存在初始缺陷(残余应力几何缺陷)，材料为弹塑性体。如按弹塑性理论 分析，荷载挠度曲线将是图中曲线 OABC。曲线上 A 点标志着杆件中点截面边缘开始屈服， 对应的荷载为 Pe，随后塑性向截面内部
4、发展，构件变形快速增加，形成 OAB 上升段，构件 处于稳定平衡状态；B 点为曲线的极值点，对应的荷载 Pu 为构件在弯矩作用平面内失稳的 极限荷载；到达 B 点以后，由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程 度，出现下降段 BC，构件处于不稳定平衡状态。由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯 矩作用平面内的弯曲失稳属于二阶弹塑性分析的极值点失稳，不能用弹性理论和平衡微分方 程求解极限荷载 Pu，而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载。 压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载，但它是弹塑性分析的基 础，因此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳。,图 3 .
5、3 压弯构件荷载挠度曲线 3.1.1 压弯构件平面内弹性弯曲性能 在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时，对图 2.13 所示有偏心 的轴心受压杆已作过分析，即当作偏心压弯构件得出了荷载 P 与构件中点挠度之间的关 系曲线。从式(2.48)中可以看出，若假设材料是无限弹性体，则当时，PPE，即临界 荷载 P 以欧拉荷载 PE 为极值。然而实际材料都是有限弹性的，由于压弯构件平面内弯曲失 稳时，构件为弹塑性工作状态，因此弹性分析只有理论意义。 下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与 变形性能。,2,3,一 寸 光 阴 不 可 轻 1. 横向均布
6、荷载作用的压弯构件 图 3.4(a)所示为在均布荷载 q 作用下两端铰接的压弯构件。假定材料完全弹性，取图 3. 4(c)所示隔离体，在距左端 x 处截面的内力矩 M f EIy ，外力矩 M e Py qx l x 2 ，平 衡方程为 EIy Py qxl x 2 令 k 2 P EI ，则,（3.1）,y k 2 y qxx l 2EI 方程 (3. 1)的特解可写作 y c1 x 2 c2 x c3 ，代入方程( 3. 1 ) ，有,Pc q 2x2 Pc ql 2x Pc 2EIc 0 1231 上式是恒等式，故 c1=q(2P)，c2= ql (2P) ,c = EIqP2 3 2
7、方程( 3. 1 )对应的齐次线性方程y+k y =0的通解可写作 y =Asin k+Bcos k，则 方程( 3. 1 ) 的通解为,（3.2）,由边界条件,y= Asin k+Bcos k+ q2(2P)q l (2P)EIq/ P2 y(0) =0 ,y( l )=0得 A= EIqP2 tg ( l 2) ，B=EIqP2,则,qx,q,l x,y ,4,2k 2 EI,tg kl sin kx coskx 1,k EI2,（3.3）,构件在 x l 2 处有最大挠度 ymax ， 令 u kl 2 ，可得,2,4,max,cos u32EIu,16EIu, ,ql 4 1 cos
8、u ql 4,y,=,5u 4,122 sec u u 2 2,y0 ,（3.4）,是均布荷载作用下简,式中： y0 5ql4 384EI 支梁的最大挠度，即当 得的最大挠度。式( 3. 4 ) 轴线压力后最大挠度的放,P=0 时，由式( 3. 4 ) 求 中括号内的值为考虑 大系数。,一 寸 光 阴 不 可 轻,图 3.4,均布荷载作用的压弯构件,将secu 展开成幂级数，有 sec u 1 1 u 2 5 u 4 61 u 6 277 u 8 2247208064 式中,E,P P,u kl lP 22EI2,则式( 3. 4 )可写成,E,E,E,P P ,1 P P,1,P P 1.0
9、038,y y 11.034,0,2,max0, y,=,Am y0,（3.5） 式中 A 1/1 P / P 是最大挠度的放大系数。 mE 构件中点的最大弯矩为,E ,1 P P, M 1,max0,2,M max ql 8 Py,E, Am M 0, 1 P P,1.028 P PE m M,（3.6）,式中 M 0 ql2 8 是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩； m 为等效弯矩系数； Am 为弯矩 放大系数，用以考虑轴压力 P 产生的二阶效应。 2. 横向集中荷载作用的压弯构件 由图 3.5（c）知，当 0 x l 2 时，平衡方程为 EIy Py Qx 2,4,一 寸 光 阴 不
10、可 轻 令 k 2 P (EI) ，则,y k 2 y Qx 2EI ,（3.7）,通解为,y Asin kx B coskx Qx (2P),2Pk,Q,引入边界条件 y0 0 ， yl 2 0, 得 B 0, A sec(kl 2), 则通解,kx,Q,y sec kl sec kx ,2Pk 2,（3.8）,令u kl 2, 当 x l 2 时，跨中最大挠度为,0,max,u3u3,4Pu48EI,QlQl33,3tgu u,ytgu u tgu u y,（3.9）,式中 y0 Ql48EI 是集中荷载 Q 作用在跨中时简支梁的最大挠度，3tgu u u 是有轴压 33 力作用时最大挠度
11、放大系数。 将 tgu 展成幂级数 tguu u 3 32u5 1517u 7 315 ,E,代入，则式( 3. 9 ),将 u kl 2 P P 2 可改写为,图 3.5 跨中集中荷载作用的压弯构件,E,E,E,y y ,1 P P,1,1 0.987P P 0.986,0,2,max0,P P y,（3.10）,E,式中1 1 P / P 为最大挠度放大系数。,5,一 寸 光 阴 不 可 轻 跨中最大弯矩为,E ,Ql ,1 P P ,12EI,4,M Ql 4 Py1 ,Pl 2,maxmax,=,E,M 0 E, A M 1 P P1 P Pm0, 1 0.178 P PE m M 0
12、,（3.11） 式中 M 0 Ql 4 是集中荷载作用下简支梁最大弯矩； m 为等效弯矩系数；弯矩放大系数,E,m,A,1 P P, 1 0.2 P PE 。,对于弹性压弯构件，根据各种荷载作用和支撑情况，可以计算出跨中弯矩 Mmax的表达 通式,E,M,1 P P,m ax, m M,（3.12）,再考虑初始缺陷的影响，假定各种缺陷的等效初弯曲呈跨中挠度为 0 的正弦曲线，则在任 意横向荷载或端弯矩作用下跨中总弯矩应为,E,M,1 P P,m ax, m M P 0,（3.13）,当压弯构件长度中点截面边缘纤维达到屈服时，其应满足,y,E,A1 P P W,P m M P 0 f,（3.14
13、）,令( 3. 14)中 M 0 ，则得到有初始缺陷的轴心压杆边缘纤维屈服时的表达式, f y, ,A1 P0 PE W,P0P0 0,（3.15）,因为 P0 Af y （ 为轴心压杆稳定系数），则由式( 3. 15 )得,Af y W,E , PA,1 , 1, 1,0,（3.16）,将式( 3. 16 )代入( 3. 14 )，整理得由边缘纤维屈服导出的相关公式,E,6,m, f y, P P,P M,AW 1,（3.17）,其中等效弯矩系数 m 取值见表 3.1。,一 寸 光 阴 不 可 轻,3.1.2压弯构件平面内弹塑性弯曲失稳 从图 3.3 可以看出，当压弯构件截面边缘纤维开 始屈
14、服，构件进入弹塑性阶段后，随着外荷载的增加， 截面弹性区越来越小，构件抗弯刚度降低，变形加快， 以至构件抗弯能力增加小于外力作用效应的增加，达 到极限状态时（图 3.3 极值点 B），内外力开始无法 平衡，构件发生平面内弹塑性整体失稳。 由于压弯构件的截面形状、尺寸和外力作用方式 等不同，弯曲失稳时构件塑性发展的范围可能只出现 在图 3.6（a）所示的阴影区，即弯曲凹面受压的一侧； 也可能如图 3.6（b）所示，在受压凹面和受拉凸面同 时出现塑性区；对单轴对称截面压弯构件，塑性区也可能只出现在受拉凸面的一侧，图 3.6 （c）所示。 图 3.6 压弯构件弯曲失稳的塑性区分布 压弯构件的极限荷载
15、求解比较困难，一般情况下可用数值积分法得到数值解，但如果截 面形状比较简单，不考虑初弯曲和较复杂的残余应力分布影响时，经简化后也可用解析法得 到近似解。,7,一 寸 光 阴 不 可 轻,表 3.1 等效弯矩系数 m 值 解析法 对于轴压力 P 和两端相同弯矩 M 共同作用的两端简支压弯构件（图 3.7），用 Jezek 解 析法18求解可以求出精确度比较高的极限荷载。其假设为： 材料为理想的弹塑性体； 构件的变形曲线为正弦曲线的一个半波。 图 3.7a 是矩形截面的压弯构件，在轴力 P 和端弯矩 M 共同作用下，平面内弹塑性弯曲 失稳时构件截面的塑性有两种类型：只出现在受压区，如图 3.7b
16、阴影部分所示，截面弹性 区高度为he ，细长构件常属此类；另一类为受压、受拉区均出现塑性区，图 3.7e 所示，短 粗构件常属此类。 下面分别加以讨论： 1）第一种情况：塑性区仅出现在受压区（图 3.7b） 图 3.7c图 3.7d 分别为第 1 种情况截面的应变和应力图。由应力图可以分别得出轴线 方向力和力矩的平衡方程：,8,一 寸 光 阴 不 可 轻,yte,y,2,y,yt,bhe,P P,2,P A 1 bh 或 ,（3.18）,图 3.7 矩形截面压弯构件中央截面的应变和应力,2,e,e,yt,h,M Pv 1 bh, h （3.19） 23,由上式可解出弹性区高度,y,P P,he 2 ,3h3M P ,（3.20）,式中， Py A y ,表示轴心受压时全截面屈服压力。 由应
