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1、一、挠曲线,梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变形不能超过一定范围，否则就会影响梁的正常工作。,挠曲线方程,第一节 工程中的弯曲变形,挠曲线：图所示悬臂梁在纵向对称面内的外力F的作用下，将产生平面弯 曲，变形后梁的轴线将变 为一条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲线。,二、挠度和转角,挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的挠度，用 y 表示，一般用 ymax 表示全梁的最大挠度。,转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，则有以下关系：,由此可知，只要知道梁的挠曲线方程 ，就可求出挠度和转角。,挠度和
2、转角的正负号的规定,挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。,一、挠曲轴线近似微分方程,梁任一截面的曲率,第二节 梁变形的基本方程,曲线 的曲率,挠曲轴线 近似微分方程,二阶小量,1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩 M 0，曲线的二阶导数 y 0；,微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系,2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下侧纤维受压，弯矩 M 0，曲线的二阶导数 y 0；,两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分方程式应取正号，即：,梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变形是线弹性的小变形。,二、积
3、分法求梁的挠度与转角,积分一次得转角方程：,对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：,积分二次得挠度方程：,简支梁：,悬臂梁：,式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面位移）确定：,由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度，这方法称积分法。,例9-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠度及截面A处的转角。,解：梁的弯矩方程为：,将上式一次积分得转角：,再次积分，可得挠度方程：,边界条件： 时， ； 时，,故有,例9-2 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠
4、度。,解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为,AB梁的弯矩方程为,将上式一次积分得转角方程,再次积分，即得挠度方程,边界条件： 时， ，,令 ，得B截面的挠度为,（）,第三节 用叠加法求梁的变形,叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。,叠加原理的步骤： 分解载荷；分别计算各载荷单独作用时梁的变形；叠加得最后结果。,梁在简单载荷作用下的变形，可查表8-1。,表8-1 梁在简单载荷作用下的变形,例9-3 悬臂梁AB上作
5、用有均布载荷q，自由端作用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求截面B的挠度和转角。,解：1）分解载荷,梁上载荷可分解成均布载荷q与集中力F的叠加。,2）查表可得这两钟情况下 截面B的挠度和转角：,+,3）叠加得截面B的挠度和转角,（）,（顺时针）,解： 1）简化、分解载荷,3）叠加,例9-4 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。,2）分别计算B截面挠度：,悬臂梁因 B 截面产生转角引起的挠度 和悬臂梁在均布载荷作用下产生的挠度,+,例9-5 悬臂梁跨度为 l =2m，截面为矩形，宽b = 100mm，高h =120mm，材
6、料的弹性模量E=210GPa，梁上载荷如图所示，求自由端A的挠度。,解： 1）分解载荷,2）查表分别得到三种载荷 引起自由端A的挠度,代入数值得：,3）叠加得自由端A的挠度,（）,一、梁的刚度条件,第四节 梁的刚度条件和提高弯曲刚度的措施,梁的刚度条件,挠度的许用值 f 一般为梁的跨度l 的1/2001/1000。 在安装齿轮或滑动轴承处，轴的 =0.001rad。 根据梁的不同用途，其许用挠度和许用转角可在机械设计手册中查得。,设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和max， f 和 分别为挠度和转角的许用值，则,例9-6 如图所示简支梁，选用32a工字钢，跨中作用有集中力F = 20kN，
7、跨度为 l =8.86m，弹性模量 E = 210GPa，梁的许用挠度 。试校核梁的刚度。,解：查型钢表可得32a工字钢的惯性矩为：,查表可得梁的跨中挠度为,故该梁满足刚度条件,二、提高梁弯曲刚度的措施,梁的弯曲变形与梁的抗弯刚度EI、梁的跨度l以及梁的载荷等因素有关，要降低梁的弯曲变形，以提高梁的刚度，可以从以下几方面考虑：,1）提高梁的抗弯刚度EI,梁的挠度与抗弯刚度EI成反比，因此提高梁的抗弯刚度EI，可以降低梁的变形。值得注意的是，由于各种钢材的弹性模量较为接近，使用高强度的合金钢代替普通低碳钢，并不能明显提高其刚度。要提高梁的抗弯刚度，应在面积不变的情况下增大截面的惯性矩，例如使用工字形、圆环形截面，可提高单位面积的惯性矩。,2）减小梁的跨度,因梁的挠度与梁的跨度的数次方成正比，所以减小梁的跨度，将使梁的挠度大为减小。,如果把简支梁的支座向内移动 a ，简支梁变成外伸梁，梁的跨度减小了。因为外伸梁段上的载荷使梁产生向上的挠度，中间梁段的载荷使梁产生向下的挠度，它们之间有一部分相互抵消，因此挠度减小了。,3）改善梁的载荷作用方式,合理调整载荷的位置及分布方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图所示作用在跨中的集中力，如果分成一半对称作用在梁的两侧（见右图 ），甚至化为均布载荷，则梁的变形将会减小。,
