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1、3.3.1 拉格朗日中值定理,定理3.3 (拉格朗日中值定理),(1) 在闭区间a, b上连续;,(2) 在开区间(a, b)内可导;,使得,3.3 拉格朗日中值定理及其应用,若函数 f (x) 满足:,几何解释:,分析:,化为罗尔定理的结论形式,在曲线弧AB上至少 有一点C, 在该点处的切 线平行于弦AB.,证 作辅助函数,拉格朗日中值公式,即,或,推论3.3 设,证,不妨设,例1 证明当,证,而,故,例2 证明,证,令,故,证,命题得证.,例3 证明当,推论3.4 设函数,单调递增;,单调递减.,3.3.2 函数的单调性,在(a, b)内可导.,证 (1),由拉格朗日定理,在a, b上,在
2、a, b上,解,例4 讨论函数 的单调性.,定义域为,注1: 推论3.4 对于开、闭、有限或无穷区间都正确.,注2: 区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,函数的单调区间求法:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,然后判定区间内导数,的符号.,的分界点,则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间,解,定义域为,导数不存在.,例5 讨论函数 的单调性.,解,定义域为,例6 讨论函数 的单调性.,导数不存在;,由零点定理：,例7 讨论方程 在 内的实根.,解,原方程在 内至少有一实根.,综上所述, 原方程在 内有且仅有一个实根.,因此, 原方程在 内至多有一实根.,
