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1、1,一元函数微积分学,一元函数的极限 微分学 积分学,2,第一章 函数的极限,1.2 函数的极限,1.1 函数的概念,1.3 函数的连续性,3,1.1 函数的概念,1.1.1 函数的定义 1.1.2 分段函数 1.1.3 有界函数 1.1.4 复合函数,4,1.1.1 函数的定义,数集D 叫做这个函数的定义域.,因变量,自变量,定义 设 x 和 y 是两个变量,D是一个给定的数集，,如果对于每个数x , 变量y 按照一定法则总有,确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作,5,函数的两要素:,定义域、 对应法则.,对应法则f,自变量,因变量,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切
2、实数值.,6,基本初等函数,幂函数类,7,指数函数类,8,对数函数类,9,正弦函数,三角函数类,10,余弦函数,11,正切函数,12,余切函数,13,正割函数,14,余割函数,15,反三角函数类,16,17,18,1.1.2 分段函数,在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的,式子来表示的函数, 称为分段函数.,19,1.1.3 有界函数,则称 f (x )为有界函数.,定义 若存在M 0,对任意的x ，有,例如，正弦函数 是有界函数.,因为，有常数 M = 1，,使得,20,正弦函数,21,1.1.4 复合函数,22,例1,23,初等函数,由常数和基本初等函数经过有限多次的 四则运算和有
3、限次的函数复合步骤所构成并 可用一个式子表示的函数, 称为初等函数.,微积分研究的主要对象是初等函数.,24,1.2 函数的极限,1 函数极限的定义 2 极限四则运算法则 3 复合函数的极限,25,1 .2.1极限概念,26,无穷小量、无穷大量 的定义,的无穷小量.即无穷小量是以零为极限的变量.,若 ，则称函数 是当 时,若 ，则称函数 是当 时,的无穷大量.即无穷大量是以 为极限的变量.,27,例如,28,极限概念（续）,若函数的极限是一个有限数，则称函数的极限存在.,29,左、右极限的定义,若 且 时，函数 以A为极限，,若 且 时，函数 以A为极限，,则称A 为函数 在点 处的右极限.记
4、为,则称A 为函数 在点 处的左极限.记为,且,定理1,30,极限不存在,极限概念的分类,极限存在,31,注解,4.若函数的极限存在，则其极限是惟一的.,(2). 函数的极限值仅与函数在自变量的极限点附近的值有关！,(1). 一个极限问题由函数的极限和自变量的极限两个部分构成，函数的极限值依赖于自变量的极限，因此函数的极限与自变量的极限有关！,(3). 函数在某点的极限存在的充分必要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等，即,32,1.2.2 极限的四则运算法则,33,极限法则（续）,34,无穷小量与无穷大量的性质,性质2 有限个无穷小量的积仍然是无穷小量.,性质1 有限个无穷小量的代数和仍然
5、是无穷小量,性质3 有界量与无穷小量的积仍是无穷小量.,性质4 无穷小量 ( )的倒数是无穷大量. 反之，无穷大量的倒数是无穷小量.,35,例3,36,例4,37,例5,解,38,例6,39,例7,40,例8,41,例9,42,例10,43,1.2.3 复合函数的极限,44,两个重要极限,45,例11,46,例12,47,例13,48,例14,49,幂指函数的极限,50,例15,51,52,1.3 函数的连续性,定义 性质,53,函数连续的定义,54,例16,证,由定义知,55,例17,解,56,定义（续）,在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续.,57,性质,性质1 连续函数的和、差、积、商、复合仍然是连续函数.,性质3 闭区间a, b上的连续函数一定有最大值与最小值.,性质2 一切初等函数在其定义域内是连续的.,58,作业,P28-31 1（1）（5）（6）（11）（12） 5（2）（5）6（4）（6） 7（2）（4）8 11（3）12（1）13（3）（7）（10）（15）（16）（20） 15,
