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1、2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-1,统计学,主编：费宇，石磊,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-2,第五章 方差分析,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-3,方差分析是统计检验的一种。由英国著名统计学家：R.A.FISHER推导出来的，也叫F 检验。用于分析试验数据中各个因素对试验指标值影响显著程度的一种统计方法。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-4,主要内容,1.1 方差分析的思想及基本概念 1.2 单因素方差分析 1.3 双因素方差分析,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-5,5.1 方差分析的思想及基本概念,方差分析（analysis o
2、f variance, 简记为ANOVA）的主要思想是将影响指标值的一个或几个因素取不同的水平，然后建立相应的方差分析模型，由此给出检验因素的不同水平对指标值是否有显著影响的统计分析过程。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-6,方差分析的基本概念,因变量（dependent variable） ：也称为响应变量（response variable）或指标值，它是指在我们在研究问题中最感兴趣的测量指标。 因素（factor） ：也称为自变量，是指那些可能对指标值产生影响的变量 。 水平（level） ：因素的不同取值也称为“处理” （treatment）。,2020/8/1,统计学第5
3、章方差分析,5-7,5.2 单因素方差分析,5.2.1 单因素方差分析的数据结构,在单因素方差分析中，记因素为 ，,其有,，则数据结构可写为：,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-8,表5.1 单因素方差分析数据,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-9,5.2.2 单因素方差分析的统计模型,在表5.1中，假设不同水平上观测数据相互独立， 同一水平中，n个重复观测数据也相互独立， 具有,常数方差,。描述方差分析的统计模型为：,其中，,表示因素,表示随机误差。且,第,表示观测指标值的总平均，,水平上的主效应，,满足约束条件 。,（5.1）,，,2020/8/1,统计学第5章方差分析
4、,5-10,利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.1） 参数的估计如下：,其中,为数据的总平均，,为数据表中的行平均。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-11,5.2.3 单因素方差分析检验过程和 方差分析表,的影响，可以表述为,（5.2）,对如下假设问题,的检验，该假设的检验可以通过平方和分解得到。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-12,总平方和的分解,组间平方和,总平方和,组内平方和,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-13,总平方和: 所有测量值之间总的变异程度，计算公式,自由度,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-14,组间平方和：各组均数与总均
5、数的差值的平方和，计算公式为,自由度,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-15,组内平方和：用各组内各测量值Yij与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响。计算公式为,自由度,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-16,三种“ 平方和”之间的关系 平方和分解：,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-17,由于上述几种平方和的数值受到样本量和水 平数的影响，一种更为科学的方法是将各部分 平方和除以相应自由度，其比值称为均方和， 简称均方(mean square，MS)，即,上式中分母的数值为对应平方和的自由度 。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-18
6、,为了检验 ，定义F统计量,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-19,接受域,拒绝域,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-20,将上述主要结果总结成一个表格，称为方差分析表，可以直观反映方差分析的计算及检验过程。,表5.2 单因素方差分析表,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-21,【例5.1】（方差分析，数据文件example 5.0） 在0.05的置信水平下，研究例5.0表的试 验中咖啡因用量是否对人体神经功能有显著影响，并说明在那些水平上他们有显著差异?,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-22,解：用SPSS打开数据文件，选择Analyze,选入到Dep
7、endent list中，将因素A选入到Factor中， 点击进入Option对话框， 在Statistics下选择 Homogeneity of variance test，最后点击Continue,Ok，输出表5.3和表5.4两个表格。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-23,表5.3 咖啡因用量实验的方差一致性检验,表5.4 咖啡因用量实验的方差分析表 输出结果,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-24,表5.3给出了对样本方差齐性的检验，检验的p-值(即表中的Sig.)为0.749大于置信水平0.05，因此不能拒绝方差齐性的假设，即认为各水平样本方式是常数，满足我们的
8、假设。表5.4给出了单因素方差分析表，说明咖啡因服用量对人体神经功能有显著影响。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-25,5.2.4 多重比较,1、多个总体的差异性检验,事实上表5.1中不同水平的观测可以看成是 来自不同总体的观测数据。假设第 个总体有 个样本(对应于表5.1中的第 个水平的次重复 观测)，,他们为来自第,个总体,的独立,样本。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-26,多个总体是否存在差异的假设问题可以,其临界值,时，我们认为,个总,体存在显著差异。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-27,2、多重比较,不拒绝H0，表示拒绝总体均值相等的证据不足
9、分析终止。 拒绝H0，接受H1, 表示总体均值不全相等 哪两两均数之间相等？ 哪两两均数之间不等？ 需要进一步作多重比较。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-28,一种使用比较多的是所有成对假设，形成 如下的假设问题：,注意到,与,是等价的。因此,（5.7）,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-29,多重比较的特点是它同时对多个成对假设进 行比较。多种比较的思想有两种，一是寻找每一 个成对假设的检验统计量，给出检验临界值，通 过比较界定显著程度；二是使用同时置信区间 (simultaneous confidence interval)的概念。,多重比较有许多种方法，使用比较多
10、的包括 Fisher的LSD方法，Turkey方法，Bonferroni方法等。我们下面通过实例来说明在SPSS下如何进行多重比较。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-30,【例5.2】（多重比较, 数据文example 5.0）在0.05的置信水平下，例5.0的试验中咖啡因用量在那些水平上有显著差异？,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-31,解：用SPSS打开数据文件，选择Analyze,表5.5的结果。,选入到Dependent list中，将因素A选入到Factor中， 点击进入Post Hoc，进入后在Equal Variance Assumed（假设方差齐性）下选
11、定Turkey，LSD 和Bonferroni选项，点击Continue,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-32,表5.5 咖啡因用量实验的多重比输出结果,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-33,这里我们选用三种方法，输出结果给出了基于这 三种方法下的多重比较结果，包括研究统计量及其 p-值和95%的同时置信区间。三种方法的结果是一致 的。从检验统计量的p-值可以看出咖啡因剂量在0mg 水平与200mg水平上有显著差异（p-值0.05），但在0mg水平与100mg水平和100mg水平与200mg水平之间没有显著差异。从同时置信区间也可以发现，成对比较差异显著时，其对应的同时
12、置信区间不包含0。此外0mg-200mg与200mg-0mg的比较的检验结果是一致的，但其同时置信区间的上下限要互换。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-34,5.3 双因素方差分析,5.3.1 双因素方差分析的数据结构,假设除了5.2节介绍的因素,之外，还有一,可能对指标产生影响。假设因素,有,个水平，这样因素,就有,组合。假设在每一个水平组合上进行相等重复 数的观测，称之为等重复试验，本节主要研究 等重复试验数据的双因素方差分析。双因素方 差分析模型的数据结构如下：,个因素,和,个水平,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-35,表5.6 双因素方差分析数据,2020/8/
13、1,统计学第5章方差分析,5-36,5.3.2 有可加效应的双因素方差分析,1.模型结构,假设不同水平上观测数据相互独立，同一 水平中，,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-37,常数方差,效应的情况，此时双因素方差分析模型表述为:,。先考虑可加效应模型，即没有交互,（5.8）,测指标值的总平均，,的主效应，,表示因素,第,水平上的主效应，,表示随机误差。,且 ， 。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-38,利用最小二乘估计理论，可以得到模型（5.8） 中参数的估计如下：,其中,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-39,2.方差分解,对双因素方差模型，将涉及两个因素主
14、效应 的检验。因素,的显著性假设为：,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-40,仿单因素方差分析的方法，考察总平方和,可分解为：,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-41,称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。,称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-42,消除自由度的影响后，定义均方和如下：,上式中分母的数值为对应平方和的自由度。自由度 数值也满足分解等式。,称为误差平方和， 反映试验误差对试验指标的影响。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-43,定义如下两个,统计量：,（5.12）
15、,（5.13）,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-44,可以证明，当,成立时，,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-45,对给定的检验水平 ，,拒绝 ，即认为因素A对指标值有显著影响。,拒绝 ，即认为因素B对指标值有显著影响。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-46,【例5.5】（两因素可加效应模型，数据文件example5.5）有四种品牌(brand)的饮料在四个地区(district)销售，在每一个地区对每一种品牌的饮料销售量观测两次（上半年一次，下半年一次）得到数据如表5.7所示。在0.05的置信水平下，问品牌及地区对饮料的销售量是否有显著影响？,2020/8
16、/1,统计学第5章方差分析,5-47,表5.7 饮料品牌及销售数据,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-48,将因变量,Custom（这样是模型中不包括交互效应），在,出如表5.8的结果。,模型中包含常数项，,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-49,表5.8 饮料品牌及销售数据的方差分析表,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-50,在表5.8中，输出结果没有交互效应参数。从p-值（Sig.）可以看出，在0.05的置信水平下，brand的主效应显著，但district的主效应不显著。因此说明如果仅考虑可加模型，品牌对销售量有显著影响，但对地区没有显著影响。,2020/8/1,统计学第5章方差分析,5-51,5.3. 有交互效应的双因素方差分析,当考虑有交互效应时，双因素方差分析模型 表述为：,（5.14）,上式中参数,，,、模型结构,20
