投入产出模型说课材料

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1、1,投入产出数学模型,2,一、投入产出数学模型（基础） 二、区域投入产出模型基础知识,3,一、投入产出数学模型（基础） 在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力，产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。 投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的“投入”与“产出”关系的数学模型. 该方法最早由美国著名的经济学家瓦.列昂捷夫（W.Leontief）提出，是目前比较成熟的经济分析方法。,4,（一）投入产出数学模型的概念,投入：从事一项经济活动的消耗； 产出：从事经济活动的结果； 投入产出数学模型：通过编制投入产出表，运用线性代数工具 建立数学模型，从而揭示国民经济各部门、再生产各环节之 间的

2、内在联系，并据此进行经济分析、预测和安排预算计划。 按计量单位不同，该模型可分为价值型和实物型。 首先，必须清楚投入产出表。见下：,6,投入产出的基本平衡关系,从左到右： 中间需求最终需求总产出 (1) 从上到下： 中间消耗净产值总投入 (2),得：产出平衡方程组(也称分配平衡方程组)：,(3),(4),7,需求平衡方程组：,(5),投入平衡方程组(也称消耗平衡方程组)：,(7),(6),8,由(3)和(6)，可得：,(8),这表明：就整个国民经济来讲，用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值与整个国民经济净产值的总和相等。,9,（二）直接消耗系数,定义1 第j部门生产单位价值所消

3、耗第i部门的价值称为 第j部门对第i部门的直接消耗系数。记作：,由定义得,(9),把投入产出表中的各个中间需求 换成相应的 后得到的数表称为直接消耗系数表，并称n阶矩阵 为直接消耗系数矩阵。,10,例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如表2，试求直 接消耗系数矩阵。,表2,解：由直接消耗系数的定义 ， 得直接消耗系数矩阵,直接消耗系数具有下面重要性质： 性质1 性质2,11,由直接消耗系数的定义得 ，代入(3)，得,(10),令 ， (10)式可表示为 ，或,(11),称矩阵E-A为列昂捷夫矩阵。,12,类似地把 代入平衡方程(6)得到,(12),写成矩阵形式为,(13),13,定

4、理1 列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。,如果各部门的最终需求 已知，则由定理1知，方程(11)存在惟一解 。,例2 设某工厂有三个车间，在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗 系数及最终需求如表3，求各车间的总产值。,表3,解,14,即三个车间的总产值分别为400，300，350。,定理2 方程(E-D)X=Z的系数矩阵E-D是可逆的。 证明略,15,（三）完全消耗系数,直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出如下定义。,定义2 第j部门生产单位价值量直接和间接消耗的第i部门的价值量总和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作 。,由 构成的n阶方阵 称为

5、各部门间的完全消耗系数矩阵。,16,定理3 第j部门对第i部门的完全消耗系数, 满足方程,定理4 设n个部门的直接消耗系数矩阵为A，完全消耗系数 矩阵为B，则有,证明 由定理3知，,将 个等式用矩阵表示为,由定理1知(E-A)可逆，故,17,例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值型投入产出表如表4，,表4,求各部门间的完全消耗系数矩阵。,解：依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中各列，得直接消耗系数矩阵为,18,故所求完全消耗系数矩阵为,从此例可知，完全消耗系数矩阵的值比直接消耗系数矩阵的值要大的多。,19,定理5 如果第j部门最终需求增加 ，而其他部门的最终 需求不变，那么部门总产出X的增量

6、为,其中,为单位坐标向量。,证明：略,定理5表明，由第j部门最终需求的增加（其他部门的最终需求不变），引起了各部门总产值的增加。 从数量上表示了各部门的增加量。如果没有这些追加，第j部门要完成增加 最终需求的任务就不能实现。,20,如果定理5的结论用分量表示,特别取 ，则有,上式的经济意义是，当第j部门的最终需求增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为 ，当第i部门的最终需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变时，第i部门总产值的增加量为 。,21,例4 利用例1中的数据，求完全消耗系数矩阵B。,解 由例1知直接消耗系数矩阵,于是有,最后得完全消耗系数矩阵,22,（四）

7、投入产出数学模型的简单应用,投入产出法来源于一个经济系统各部门生产和消耗的实际统计资料。它同时描述了当时各部门之间的投入与产出协调关系，反映了产品供求平衡关系，实际中有广泛应用。 经济分析方面的应用：可用于结构分析，还可用于编制经济计划和进行经济调整等。,编制计划： 方法一：先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门最终需求； 方法二：先确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门总产出。 后一种符合需求决定产出的原则，也有利于调整各部门产品结构比例，较合理。,23,例5 给定价值型投入产出表5，预先确定计划期各部门最终需求如表6。 根据投入产出表中的数据，算出报告期的直接消耗系数矩阵A。

8、假定计划期同报告期的直接消耗系数是相同的，因此把A作为计划期的直接消耗系数矩阵。再按公式 算出总产出向量X。,表5 （单位：万元）,24,表6 （单位：万元）,解 通过数值计算得到,25,由 得出总产出向量,这样得到各部门在计划期的总产出依次是(万元)：,如果各部都能完成计划期的上述总产出值，那么就能保证完成各部门最终需求的计划任务。,26,在求出了各部门总产出 之后，根据公式 可计算各部门间应提多少中间需求 。具体数值表如表7。,表7,27,例6 某地有三个产业，一个煤矿，一个发电厂和一条铁路。 开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费; 生产一元钱的电力，发电厂要支付

9、0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费; 创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费和0.10元的电费。 在某一周内煤矿接到外地金额50000元定货，发电厂接到外地金额 25000元定货，外界对地方铁路没有需求。,问：三个企业间一周内总产值多少才能满足自身及外界需求？三个企业间相 互支付多少金额？三个企业各创造多少新价值?,解：这是一个投入产出分析问题。设x1 为本周内煤矿总产值，x2为电厂总 产值, x3为铁路总产值, 则,28,设产出向量为 ，,外界需求向量为 ，,直接消耗矩阵为,则原方程为 ，其中E-A为列昂捷夫矩阵。,由此解得 。,29,投入产出矩阵为,总投入向量为

10、,新创造价值向量为,30,表8 投入产出分析表(单位：元),31,二、区域投入产出模型基本概念,(一)基本问题 单个地区的投入产出表：只限于一个地区内部产业间、本地生产与需求之间的经济关系分析，无法分析多地区各产业间经济关系。 区域间投入产出模型：是利用商品和劳务流动，将各区域投入产出模型连接而成的跨区域的投入产出连接模型。 优点：不仅可以反映区域内部各产业之间的经济关联，而且还可以系统全面地反映不同区域、不同产业之间的经济联系。 类型： 1、区域间输入非竞争型投入产出模型 该模型先从生产地出发，即一个地区的某种产品以固定的分配比例分配给各个区域（含本区域），这个比例称为区域分配系数。,32,

11、分配比例确定之后，若已知一个地区的产量，即可计算它与所有地区之间的贸易量 2、区域间输入竞争型投入产出模型 核心：提出了区域间交易系数。 区域间交易系数：指在S区域的i产口的总需求（中间需求加最终需求）中，S区域的各中间需求部门和最终需求部门从R区域输入的i产品的比例。 区别：上一模型把一个地区对某种产品向各个地区（包括本地区）供应的百分比，即行系数固定下来；而这一模型则是把一个地区对某种产品的需求量由各个地区（包括本地区）供应的百分比，即列系数固定来。,33,3、区域间引力模型 该模型将所研究的商品分为国家商品、区域商品和本地商品三种。 分析基础：基于这样的考虑，即商品存在着不同级别的市场。

12、 有些商品的生产和消费的均衡，发生在国家水平上； 有些商品的生产和消费的均衡，发生在较低的区域水平上； 有些商品的生产仅为满足一个区域的本地需求。 上述三种模型的比较： 第二种模型与其他模型相比，具有资料要求低、精度较高的特点。目前，世界上很多国家采用这种模型编制地区间投入产出表。,34,(二) 区域投入产出模型类型 一般有四种：（1）区域内投入产出模型:研究国内一个区域，与国家模型相同；（2）区际投入产出模型：几个区域的模型，区域贸易矩阵中“来源地目的地”详细；（3）多区域投入产出模型：区际贸易矩阵中只有“来源地”详细；（4）平衡的区域投入产出模型：模型中所有贸易假定发生在全国均衡部门。 1

13、、区域内投入产出模型 如前所述。 基本等式： （1） 由上可得里昂惕夫逆阵： （2） 2、区际投入产出模型 区际投入产出表：见下。,35,36,区域间投入产出模型(输入竞争型): 核心:是提出区域间交易系数. 区域间交易系数：是指在S区域对 i 产品的总需求(中间需求+最终需求)中,从R区域输入的i 产品的比例。公式为： 其中， 为S区域的各产业（中间需求）部门以及最终需求部门从R区域输入的i 产品的总额； 为S区域 j 产业部门单位产出所直接消耗的来自 i 产业部门的投入系数； 为S区域 j 产业部门国内生产总额； 为S区域的各中间需求部门使用的i 产品总额； 为S区域的最终需求部门使用的i

14、 产品的总额。 其中， 为来自区域内部的i 产品供给额，其等于从S区域的i 产品的总需求减去来自各区域的i 产品的输入总额。因此，区域间交易系数 可以从反面反映该产品的区内自给率高低程度。区域间交易系数矩阵C 可以反映各个区域之间各种产品的交易形式。,37,根据区域间交易系数，可以定义各个区域的产业部门之间的产品交易额为： 各个区域的产品最终需求部门交易额为： 由此，可以得到供需平衡的基本方程式： 其中，C区域间交易系数矩阵，A为投入系数矩阵，F为最终需求矩阵，E为海外需求发生的出口矩阵额，M为进口矩阵额。 表示为区域间投入产出模型的形式为： 其中， 为区域间投入产出模型的投入系数矩阵； 为区

15、域间投入产出模型的最终需求矩阵； 为区域间投入产出模型的出口列阵； 为区域间投入产出模型的进口列阵； 为区域间投入产出模型的产出列阵,38,可从四方面分析产业结构的变化 区域影响的分析 求解区域模型可得区域最终需求变化对R区域经济的影响 还可得区域最终需求变化对整个国民经济的影响 区域投入系数估算 当不能得到区域技术系数时，通常利用国家系数作为估算的基础 区际影响分析 区际影响分析的解等于国家模型的解,只是矩阵更复杂些。与前面一样，此假定技术系数是稳定的，贸易系数也是稳定的。,39,那么，基本的区际平衡方程为： 区际反馈分析 区域内投入产出模型（RIO）与区际投入产出模型（IRIO）的差别：一是IRIO不仅能提供初始区域的影响估计值，而且能估算所有区域的影响值；二是IRIO能估算由外部区域最终需求所引起的区域反馈， 为外部区域的最终需求。 由上述区际平衡方程，可计算区际反馈。假定所研究的变化发生在R区域，即 ，则由第二平衡方程可得： 这是向S区域的输出的变化对S区域所造成的影响。,40,若将这一方程代入第一平衡方程，可得： 在一