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1、第四章金属自由电子气模型,1 金属的Drude模型,金属在固体特性的研究中占据重要位置:元素单质材料中最为常见的是金属;金属具有良好的电导率、热导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的发端。 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后,Drude根据气体运动论建立了金属自由电子气模型,把金属中的电子看到由电子组成的理想气体。 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出,现在仍然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。,1. Drude模型,1)传导电子和芯电子 Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1 Na 蒸汽 3s
2、 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,1. Drude模型,1)传导电子和芯电子 Na: K L M 1s 2s2p 3s 2 8 1 芯电子(core electrons) Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm,传导电子 conduction electron,1. Drude模型和凝胶模型,1)传导电子和芯电子 凝胶模型 (Jellium model) 金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导电子限制在金属范围内的势垒,而
3、在金属内部,势能是均匀的,好像传导电子在一个均匀的势场中运动,相对势能为零。,2) 传导电子密度 传导电子密度 n:单位体积的传导电子数 原子数/mole: N0 = 6.022 1023,Avogadro常数 mole数/cm3: m/A, 其中 m是金属的质量密度(g/cm3),A是元素的原子量,Z是每个原子贡献的价电子(传导电子)数目,(电子密度),对于金属,n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想气体的密度高上千倍 将每个电子平均占据的体积等效成球体,则:,定义电子占据体积的等效球半径:,rs的典型值。,3) Drude模型的假设 (1)自由电子近似(Free elect
4、ron approximation): 忽略电子离子的相互作用 独立电子近似(Independent electron approximation): 忽略电子电子之间的相互作用 (2)电子之间的碰撞是瞬时的,经过碰撞,电子速度的改变也是突然的。,(3)电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/ 通常被成为弛豫时间(Relaxation time),相应的近似被成为弛豫时间近似(Relaxation time approximation)。 这个图像所描述的碰撞过程为:电子在某时刻受到碰撞,电子的速度瞬时被改变,然后电子的运动为自由运动,(如果存在外场,会受到外场力的作用),电子平均自由运动时
5、间后再一次受到碰撞。,(4)电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假定通过一个简单的途径达到,即碰撞前后的速度没有关联(电子对自己的速度历史没有记忆)。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 (经典统计),Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。,2. 金属的直流电导,这是最早从实验上确定的,但是为什么会如此?,欧姆定律(Ohms law):,欧姆定律更一般的形式(微分形式):,按照Drude模型分析: 假定t时刻电子的平均动量为p(t),经过dt时间,电子没有受到碰撞的几率为 1-dt/,那么这部分电子对平均动量的贡献为,(1.2.1),1) 电导率,上式中F(t)是电子
6、所受的外力。 对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献: 这部分电子的比率为dt/,它们受到碰撞后无规取向(动量无规取向对平均动量无贡献)。这部分电子对平均动量的贡献在于受到碰撞前从外场获得的动量,由于碰撞发生在t+dt时刻或之前,因此对平均动量的总贡献小于,这里涉及dt的二次项,是个二阶小量,可以略去。,(1.2.2),(1.2.2)式在一级近似下为,(1.2.3),更简练的形式为,(1.2.4),引入外场作用下电子的漂移速度(Drift velocity)d,(1.2.5),碰撞的作用,相当于一个阻尼项,对于恒定外电场的稳态情况,,(1.2.5)式为:,(1.2.6),相应地:,(1.2.8),
7、(1.2.7),2)金属中电子的弛豫时间,(1.2.9),在室温下,金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm, 如果电阻值用Ohm-cm为单位,弛豫时间的大小为:,其中,为金属电阻率,rs为一个所占据体积的等效球半径,a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率=1.5610-6Ohm-cm, =2.7 10-14 sec,(1.2.10),3)金属中电子的平均自由程,在室温下,电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s, 则 l =1 nm Drude 模型是自洽的。,l = v0 ; 而 mv02/2 =3kBT/2,3. 金属热导率,当温度梯度存在时,在金属中就会有热流产生:,此即Fouri
8、ers Law。其中JQ是热流,是热导率,T是温度梯度。金属的热导率一般大于绝缘体的,因此金属的热导率可以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型,我们可以套用理想气体热导率公式得:,(1.5.1),(1.5.2),其中CV是电子气热容,v是电子运动的平均速度,是电子 平均自由程,是电子弛豫时间。,计算比值:,应用经典统计的结果:,我们有:,(1.5.3),(1.5.4),(1.5.5),(1.5.6),这就是Wiedemann-Franz关系,该常数被称为Lorenz数(Lorenz number)。实际上,Lorenz数比上述值大一倍。,这是Drude模型所无法解释的。其实,Drude模型能够给出 数量级正确的结果也是因为巧合,对CV估计大了两个数量级,对v2估计小了两个数量级。,(1.5.7),(1.5.8),1)Lorenz 数:数量差2倍,且与温度有关 2)电子比热:量差100倍,高温(RT以上)与温度无关 3)电导率:与温度有关 理论值与实验值相差100倍! 偶然 or 必然?,4. Drude模型的不足,