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1、,第一节 二重积分的概念和性质,第二节 二重积分的计算法,第九章 二重积分,(一)利用直角坐标系计算二重积分,(二)利用极坐标系计算二重积分,9.2 二重积分的计算法（一）,-利用直角坐标系计算二重积分,其中函数 、 在区间 上连续.,(1)X型域,预备知识:X型,Y型区域,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,（一）直角坐标系下计算,【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,(3)既非X型域也非Y型域如图,在分割后的三个区域上分别都是X型域(D1也是Y型域),则必须分割.,由二重
2、积分积分区域的可加性得,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,2.公式推导,表示曲顶柱体的体积.,a.回顾二重积分几何意义,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,b.回顾一元函数定积分的应用,平行截面面积已知,立体体积求法:,1.X型,Y型区域,3.几点说明,化二重 为二次,公式(1),a,b,x,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,公式1,公式2,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角
3、坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,公式,(1) 【二重积分的计算步骤可归结为】,画出积分域的图形，标出边界线方程；,根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.(写出不等式),根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,3.几点说明,2.公式推导,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,1.X型,Y型区域,3.几点说明,(2) 使用公式1必须是X型域，,公式2必须是,若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 ,则为计算方便,可选择积分次序。,Y型域.,若积分域复杂,可分成若干X型Y型区域,【类似例1】,【解】,看作X型域,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次
4、序,一、直角坐标系下计算,D既是X型域又是Y型域,【解】,看作Y型域,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【例2】,【分析】,D本身是Y型域,先求交点,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,法1,法2,视为X型域,计算较繁,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【例2】,【补例1】,【解】,D既是X型域又是Y型域,法1,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,法2,注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便,注意两种积分次序的计算效果！,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一
5、、直角坐标系下计算,【解】,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,D既是X型域又是Y型域,把D当作Y型域，先x后y积分,练习,【小结】,以上例子说明，在化二重积分为二次积分时， 为简便见需恰当选择积分次序； 既要考虑积分区域D的形状， 又要考虑被积函数的特性 (先对x易积就后积y,当y型区域),三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【练习1】,【解】,据二重积分的性质4（几何意义）,交点,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【练习2】计算,其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成,【解】,三
6、、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,先y积不出，故先x后y，即Y型域,【补例2 】,【解】,当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【类似例5】,求两个底圆半径都等于R的直交,【解】,设两个直圆柱方程为,利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,圆柱面所围成的立体的体积V.,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,题设积分限:,可改写为:,所以,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,交换积分次序：,若积分区域既
7、是X型区域又是Y 型区域 ,目的为方便计算，或题目要求。,补例3,交换二次积分,的积分次序.,解：,积分限:,可改写为,所以,原式,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,【练习3】交换下列积分顺序,【解】 积分域由两部分组成:,视为Y型区域 , 则,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,三、利用对称性奇偶性,二、交换二次积分次序,一、直角坐标系下计算,设D 位于x 轴上方的部分为D1,1、积分区域D关于x轴对称,则,则,2、积分区域D关于y轴对称,被积函数关于y为偶函数,函数关于y为奇函数，,设D 位于y 轴右方的部分为D2,则,则,函数关于x为偶函数,函数关于x为奇函数,补例4,计算,其中积,分区域 由曲线 与 所围成.,解,令,因为 关于 轴,且,故,对称,练习4,求,其中,解,因为 关于 轴和 轴对称,且,于 为偶函数,注:,则要繁琐很多.,若直接在 上求二重积分,关于 或关,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,【小结】,Y型,X型,【思考题】,【解答】,
