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1、 20202020 年浙江卷高考数学真题试卷（含答案）年浙江卷高考数学真题试卷（含答案） 参考公式：参考公式： 如果事件 A， B 互斥， 那么 ()( )( )P ABP AP B 如果事件 A， B 相互独立， 那么 ()( ) ( )P ABP A P B 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( )C(1)(0,1,2, ) kkn k nn P kppkn 台体的体积公式 1122 1 () 3 VSS SS h 其中 12 ,S S分别表示台体的上、下底面积，h表示 台体的高 柱体的体积公式VSh 其中S表示柱体的底
2、面积，h表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 VSh 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高 球的表面积公式 2 4SR 球的体积公式 3 4 3 VR 其中R表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1已知集合 P= |1 4xx ，Q= |23 xx ，则 PIQ= A |1 2xx B |2 3xx C |3 4xx D |1 4xx 2已知 aR，若 a1+(a2)i(i 为虚数单位)是实数，则 a= A1 B1 C2 D2 3若实数 x，y 满足约束条件 310 3
3、0 xy xy ，则 2zxy 的取值范围是 A( ,4 B4, ) C5, ) D( ,) 4函数 y=xcos x+sin x 在区间，上的图象可能是 1 5某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是 A 7 3 B14 3 C3 D6 6已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n“l ，m，n 共面”是“l ，m，n 两两相交”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 7已知等差数列an的前n项和为Sn，公差0d ，且 1 1 a d 记 12 bS， 1222 nnn bSS ，n N，下列 等式不可能 成立的是 A
4、 426 2aaa B 426 2bbb C 2 428 aa a D 2 42 8 bb b 8已知点O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点P满足|PA|PB|=2，且P为函数 2 3 4yx 图象上 的点，则|OP|= A 22 2 B 4 10 5 C 7 D10 9已知 a，bR 且 ab0，对于任意 x0 均有(xa)(xb)(x2ab)0，则 Aa0 Cb0 2 10设集合 S，T，SN*，TN*，S，T 中至少有 2 个元素，且 S，T 满足：对于任意的 x，yS，若 xy， 则 xyT；对于任意的 x，yT，若 xy，则 y x S下列命题正确的是 A若 S 有 4 个元
5、素，则 ST 有 7 个元素 B若 S 有 4 个元素，则 ST 有 6 个元素 C若 S 有 3 个元素，则 ST 有 5 个元素 D若 S 有 3 个元素，则 ST 有 4 个元素 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11 我国古代数学家杨辉， 朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题， 如数列 (1) 2 n n 就是二阶等差数列 数 列 * (1) () 2 n n n N的前 3 项和是_ 12二项展开式 2345 0123 5 45 (2 )1xaa xa xa xa xa x，则 4 a _， 135
6、 aaa_ 13已知tan2，则cos2_， tan() 4 _ 14已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单 位：cm）是_ 15已知直线 (0)ykxb k 与圆 22 1xy和圆 22 (4)1xy均相切，则k _，b=_ 16盒中有 4 个球，其中 1 个红球，1 个绿球，2 个黄球从盒中随机取球，每次取 1 个，不放回，直到取 出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则 (0)P_，( )E_ 17 已知平面单位向量 1 e， 2 e满足 12 2|2|ee 设 12 aee， 12 3bee， 向量a，b的夹角为， 则 2 c o s
7、 的最小值是_ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18（本题满分14分） 在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2 sin 30bAa （）求角B的大小； （）求cosA+cosB+cosC的取值范围 19（本题满分15分） 如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACB=ACD=45，DC =2BC （）证明：EFDB； 3 （）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值 20（本题满分 15 分） 已知数列an，bn，cn满足 11111 2 1, n nnnnn n b abccaa cc n b * N （
8、）若bn为等比数列，公比0q ，且 123 6bbb，求 q 的值及数列an的通项公式； （）若bn为等差数列，公差0d ，证明： * 123 1 1, n ccccn d N 21（本题满分 15 分） 如图，已知椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy，抛物线 2 2: 2(0)Cypx p，点 A 是椭圆 1 C与抛物线 2 C的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 1 C于点 B，交抛物线 2 C于点 M（B，M 不同于 A） （）若 1 16 p ，求抛物线 2 C的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 22（本题满分 15 分） 已知1
9、2a，函数 exf xxa ，其中 e=2.71828是自然对数的底数 （）证明：函数 yf x 在(0, )上有唯一零点； （）记 x0为函数 yf x在(0,)上的零点，证明： （） 0 12(1)axa ； （） 0 0 (e)(e 1)(1) x x faa 4 参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分，共 40 分。 1B 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8D 9C 10A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 1110 1280,122 13 3 1 , 5 3 141 15 32 3 , 33
10、16 1 ,1 3 17 28 29 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。 18本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理等基础知识，同时考查数学运算等素养。满分 14 分。 （）由正弦定理得2sin sin3sinBAA ，故 3 sin 2 B ， 由题意得 3 B . （）由ABC得 2 3 CA， 由ABC是锐角三角形得 ( , ) 6 2 A. 由 213 coscos()cossin 322 CAAA 得 311131 3 coscoscossincossin()(, 2226222 ABCAAA . 故coscoscosABC的取值范围是 31 3 (, 22 . 19本题
11、主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直观想象和数学 运算等素养。满分 15 分。 （）如图，过点 D 作DOAC，交直线 AC 于点O，连结 OB. 由45ACD，DOAC得 2CDCO ， 由平面 ACFD平面 ABC 得 DO平面 ABC，所以DOBC. 5 由45ACB， 12 22 BCCDCO得BOBC. 所以 BC平面 BDO，故 BCDB. 由三棱台ABCDEF得BCEF，所以EFDB. （）方法一： 过点O作OHBD，交直线 BD 于点H，连结CH. 由三棱台ABCDEF得DFCO，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面
12、DBC 所成角. 由BC 平面BDO得OHBC，故OH 平面 BCD，所以OCH为直线 CO 与平面 DBC 所成角. 设 2 2CD . 由2,2DOOCBOBC，得 2 6,3 3 BDOH， 所以 3 sin 3 OH OCH OC ， 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 方法二： 由三棱台ABCDEF得DFCO， 所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面 DBC 所成角， 记为. 如图，以O为原点，分别以射线 OC，OD 为 y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz . 设 2 2CD . 由题意知各点坐标如下： (0,0,0),
13、 (1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)OBCD . 因此(0,2,0),( 1,1,0),(0, 2,2)OCBCCD . 设平面 BCD 的法向量 ( , ,z)x yn . 6 由 0, 0, BC CD n n 即 0 220 xy yz ，可取 (1,1,1)n . 所以 |3 sin|cos,| 3| | OC OC OC n| n n| . 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 20本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查数学运算和逻辑推理等素养。满分 15 分。 （）由 123 6bbb得 2 16qq，解得 1 2 q 由 1 4
14、nn cc 得 1 4n n c 由 1 1 4n nn aa 得 1 2 1 42 144 3 n n n aa （）由1 2 n nn n b cc b 得 1 2 1 11 111 () n nnnn bb cd c b bdbb ， 所以123 1 11 (1) n n d cccc db ， 由 1 1b ，0d 得 1 0 n b ，因此 * 123 1 1, n ccccn d N 21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与椭圆、抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽象、 数学运算与逻辑推理等素养。满分 15 分。 （）由 1 16 p 得 2 C的焦点坐标是 1 (,0) 3
15、2 （）由题意可设直线 :(0,0)l xmyt mt ，点 00 (,)A x y 将直线l的方程代入椭圆 2 2 1: 1 2 x Cy得 222 (2)220mymtyt， 所以点M的纵坐标 2 2 M mt y m 将直线l的方程代入抛物线 2 2: 2Cypx得 2 220ypmypt， 所以 0 2 M y ypt ，解得 2 0 2 (2)p m y m ， 因此 22 0 2 2 (2)p m x m 由 2 20 0 1 2 x y得 24 2 122 4()2()160mm pmm ， 所以当 2m ， 10 5 t 时， p取到最大值 10 40 22本题主要考查函数的单调性、零点，导数的运算及其应用，同时考查数学抽象、逻辑推理与数学运算 7 等素养。满分 15 分。 （）因为 (0)10fa ， 22 (2)e2e40fa，所以 ( )yf x 在(0, )上存在零点 因为( )e1 x fx，所以当0 x 时， ( )0fx ，故函数 (
