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1、1,一.多元函数的连续性 二.偏导数及高阶偏导数,复习,二、多元函数的极限,一、多元函数的定义、定义域、图形,点函数u=f(P)能表示所有的函数.,多元函数的极限定义,利用点函数的形式有n元函数的极限,3,一.多元函数的连续性 二.偏导数及高阶偏导数,4,一.多元函数的连续性,目的要求,重点,二元函数的连续性的概念,1.了解二元函数的连续性的概念,2.了解有界闭区域上连续函数的性质,四.多元函数的连续性,设函数 z= f (x,y)在点P0(x0, y0)的某一邻域,若在点P0(x0, y0) 处,自变量x, y各取增量x,则称函数 z = f (x, y)在点 P0(x0, y0) 处连续
2、.,在点 处连续.,则称函数 f (x, y),若,内有定义,1.定义,即,函数随之取得增量z，,y时，,若,例1 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,四.多元函数的连续性,又,故,解,例2,四.多元函数的连续性,2.二元函数z=f (x, y)在区域D上的连续性,如果二元函数z=f (x, y)在平面区域D内每一点都连续，,是空间中的一个不断开(无孔无缝)的连续曲面。,二元连续函数的图形,并称z=f (x, y)为区域D上的连续函数.,连续，,则函数z=f (x, y)在区域D内,四.多元函数的连续性,四.多元函数的连续性,
3、如果函数 z= f (x, y) 在点P0(x0, y0)不连续，,(1) 在点 P0(x0, y0) 没有定义，,(2) 极限 不存在，,(3),则点 P0(x0, y0)为函数的 z = f (x, y) 的间断点.,如果函数 z= f (x, y) 有下列情形之一：,或称间断点.,是函数 f (x, y) 的不连续点，,3.间断点,则称,四.多元函数的连续性,二元函数间断的情况要比一元函数复杂,例,此函数对于x轴与y轴上的点均间断.,此函数在原点(0,0)处间断.,有间断点外,它除了,还可能有间断线.,例,例,四.多元函数的连续性,4.二元函数的连续性质,由变量x的初等函数、y的初等函数
4、经过有限次四则运算或有限次复合步骤而构成的，,二元初等函数在其定义区域内处处连续.,连续函数的和、差、积、商(分母不为零)与复合仍连续.,定理,二元初等函数,称为二元初等函数.,一个数学式子表示的函数,且用,定理,四.多元函数的连续性,例3 求,解,一般地，求 时，如果f (P) 是初等函数，,于是,则 f (P) 在P0处连续，,且 P0是f (P) 的定义域内的点，,四.多元函数的连续性,例4 求极限,解,例5,解,四.多元函数的连续性,5. 闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上必取得介于这两值之间的任何值至少一次,(2) 最大
5、值和最小值定理,(3) 介值定理,在有界闭区域 D上的二元连续函数在 D上一定有最大值和最小值.,四.多元函数的连续性,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,多元函数的连续,多元函数的连续定义,由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质与二元函数类似.,并将其统一为点函数形式.,同二元函数类似，可以定义多元函数的连续概念.,因此，对于多元函数,四.多元函数的连续性,小 结,一.多元函数的连续性,作业:P302 5(1),二.闭区域上连续函数的性质,思考题1,四.多元函数的连续性,思考题1解答,有.,四.多元函数的连续性,一定有最大值和最小值存在,对应的点即为最值点.,思考题2,不能.,二.多元函数极限的概念及极限不存在的判定,（注意趋近方式的任意性）,小结,一.区域、多元函数的概念,点函数u=f(P)能表示所有的函数.,多元函数的极限定义,利用点函数的形式有n元函数的极限,
