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1、1,中值定理与导数的应用,第四章,2,第一节 中值定理,微分中值定理的核心是拉格朗日 (Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广.,预备定理费马(Fermat)定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何. 因提出费马大、小定理而著名于世.,3,几何解释：,预备定理费马(Fermat)定理,曲线在最高点或最低点如果有切线，则切线必然是水平的.,4,证明:,由极限的保号性，,5,6,一、罗尔(Rolle)定理,y=f (x),几何解释：,如果连续光滑的曲线 y=f (x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等. 那
2、么，在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在 C点的切线是水平的.,7,证,由费马引理,所以最大值和最小值不可能同时在端点取得.,8,注意：,f (x)不满足条件(1),f (x)不满足条件(3),f (x)不满足条件(2),如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立.,9,例1,验证,10,例2,解,11,例3,D,（A）间断；,（B）连续但不可导：,解,不存在.,12,例4 不求导数，判断函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围.,解 f (1)=f (2)=f (3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件.
3、 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一个零点. 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内.,思考：f (x)的零点呢？,13,如果函数f (x)满足：(1)在闭区间a, b上连续， (2)在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x(a, b)内，使得,几何意义：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,14,证明,作辅助函数,15,例8,16,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,或,特别地,或,拉格朗日中值公式另外的
4、表达方式：,17,推论1,证明,18,推论2,证明,即得结论.,19,例9,证,由推论1知,20,利用拉格朗日定理证明不等式,例10,证,21,例11,证,由上式得,22,例12,证,类似可证：,推论,23,三、柯西(Cauchy)中值定理,设函数f (x)及g (x)满足条件： (1)在闭区间a, b上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a, b)内任何一点处g(x)均不为零， 则至少存在一点x(a，b)内，使得,如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.,说明：,证略.,24,例13,证,右端改为,令,25,令,代入上式得,26,*四、构造辅助函数法举例,27,例5,证,结论得证.,28,证,例6,29,证,例7,30,P141 习题四,练习：,
