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1、,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程的定义和分类,第十二章,二、一阶线性微分方程的解法,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,一、一阶线性方程的定义,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为：,1. 线性齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,可分离变量的方程,只写一个原函数,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设,是方程 的解，则,积分得,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非奇次方程解的结构,解：,例1,本章类似积分可不加绝对值,例2,解：,化为标准型：,例3. 求
2、方程 的通解.,解法一: 一阶线性微分方程公式,例3. 求方程 的通解.,解法二: 分离变量法,例4 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例5：设曲线上任意一点 P(x,y) 处的切线与射线 OP 以及y 轴围成图形的面积是常数a. 求曲线的方程.,切线方程：,令 X= 0 , 得 A 点的纵坐标,例6：求下列方程的解,例6：求下列方程的解,两边求导，得,积分方程有时会蕴含定解条件,例6：求下列方程的解,（3） 设y(x)当x0 时可微，且满足,求 y.,两次求导,3、设,在,上连续，且,单调减少，,单调增加。,证明：,证明：,当,当,所以命题成立。,不能再次求导,作业,P 304 1 (1) ,（2）， (5) , （6）， (7) , (9) 2 (1), (2), (3) ; 6 P 309 1 (1) ; 2(1) , （2）; 3 P 315 1 (1) , (2) , （3）; 2 (1) ; 3,
