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1、函数的单调性的判别,学习重点,函数极值及最值的确定方法,曲线凹凸向的判别及拐点的确定,函数的单调性,函数单调递增,则,函数单调递减,则,由Lagrange中值定理:,于是有函数单调性的判别定理,函数单调性的判别定理,(1) 如果函数 在 内有 ,则函数在 上是单调递增的。,(2) 如果函数 在 内有 ,则函数在 上是单调递减的。,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以,函数在 内是单调递增的。,设函数 在 上连续,在 内可导,则,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以,函数在 及 内单调增加,在 内单调减少。,例3 求函数 的单调区间,解 因为,当 时, 不存在,当
2、 时, ,当 时,,所以,函数在 内单调增加,在 内单调减少。,小结:驻点(使一阶导数为零的点)或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。,例4 求函数 的单调区间,解 因为,列表:,所以,函数在 及 内单调递增,在 内单调递减。,续例4:,小结: 求函数的单调区间的一般方法: (1)求函数的一阶导数; (2)找出所有的驻点及一阶导数不存在的点; (3)将上述点插入到定义域,分区间确定一阶导数的符号; (4)根据单调性的判别定理,确定单调区间。,例5 证明不等式,证明 令,则,所以,当 时,不等式 成立。,函数的极值,极值的概念:如果函数 在点 的某邻域内有定义,对于 该邻域内任意异于 点的 ,
3、都有 ,则称 为函数的一个极小值;如果有 ,则称 为函数 的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取 得极值的点称为函数的极值点。,由于函数在不同的区间的单调性不同, 因而在图象上会出现“峰”与“谷”,使函数 值在局部范围内出现“最大”、“最小”,称 之为函数的极大、极小值。,例如,函数的极值是一个局部特性,最值是全局特性 (1)函数在某个区间内可能既无极大值,也无极小值; 如函数Y=x 在区间 1,2 内既无极大值,也无极小值。 (2)可以缺少其一; 如 y=x2 在区间 -1,2 内,只有极小值。 (3)极小值可以大于极大值,如某种股票的交易价格函数; (4)极值一定在区间内部
4、取得。,函数的极值说明,极值存在的必要条件(费马定理),如果函数 在点 处可导,且在点 处有极值, 则,导数为零的点称为函数的驻点。,函数在可导点取得极值时,则在该点的切线平行于x轴。,函数的极值点是驻点或导数不存在的点。,费马定理的逆定理不成立。,极值存在的第一充分条件,设函数 在点 的某个邻域内可导(点 可除外),则 在点 处取得极大值;,则 在点 处取得极小值;,则 在点 处无极值;,例1 求函数 的极值,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以,函数有极大值 ,有极小值 。,一阶导数由正到负,函数过极大值;一阶导数由负到正,函数过极小值。,例2 求函数 的极值,解 因为,当 时, 不存在,
5、当 时, ,当 时,,小结:驻点或一阶导数不存在的点,可能是函数的极值点, 必须按第一充分条件进行判别。,所以,函数有极小值 。,例3 求函数 的极值,解 因为,所以,函数无极值。(虽然有 ),单调增区间为(-,0)和(1,+) 单调减区间为(0,1),f (0)=0为极大值;f (1)=-1/2 为极小值,练习,解,极值存在的第二充分条件,例4 求函数 的极值,解 因为,所以,函数有驻点,而,所以,所以,函数有极大值 ,有极小值 。,注意:当函数的二阶导数较易求,且二阶导数不为零时, 使用第二充分条件判别极值较易;而二阶导数为零的点,必 须用第一充分条件判别。,函数的最大值与最小值,由极小值
6、的特性,可知:,极小值 最小值;极大值 最大值,已有结论:如果函数在 a,b上连续,则函数在该区间上 一定有最大值和最小值。,求函数最值的一般步骤与方法,(1)求函数的导数;,(2)在给定区间(或定义域)内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点;,(3)计算函数在上述点处的函数值,以及在端点处的函数值,并 比较其大小,其中最大者即为函数在区间上的最大值;最小者即 为函数在区间上的最小值。,例5 求函数 在 上的最值。,解 因为,令,得,而,例6(应用题)某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定: 其中t是时间,以周为单位。试问细菌的群体在 多少周后数量最大,其最大数量的多少?,解 因为,令,
7、得,(舍去负值),由问题的实际意义,可知 时,细菌群体的数量最大,,其数量为,一般地,对于实际应用问题,如果可以判断目标函数的最值 存在,函数在定义域内又只有唯一驻点,则该驻点即为最值点。,例7 某厂生产某种商品,某年销售量为100万件,每批生产需 增加准备费1000元,而每件产品的库存费为0.05元,如果年销售 率是均匀的,且上批销售完后立即再生产下一批(此时商品库存 数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费与库存费 之和最小?,解 设总费用为y,共分x批生产,由题设可得函数关系,令,得唯一驻点,由问题的实际意义,应分5批生产,可使两种费用之和最小。,曲线的凹凸向及拐点,定义 如果曲
8、线弧总位于它的每一点的切线的上方,则称该 曲线弧是(向上)凹的(concave); 如果曲线弧总位于它的每 一点的切线的下方,则称该曲线弧是(向上)凸的(convex),凹弧,凸弧,凹、凸弧的分界点,称为曲线的拐点(inflection point)。,凹凸弧的判别定理,定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ,则在 该区间上: (1)当 时,曲线弧 是向上凹的; (2)当 时,曲线弧 是向上凸的。,例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。,所以,函数的图形在 内是向上凹的。,证明 函数的定义域为,判断曲线 y=lnx 的凹凸性,内是凸的。,解答,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐
9、点。,令,得,列表,因为,所以,曲线在 及 内是向上凹的,在 内是向上凸的,有拐点 及 。,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。,令,得,因为,例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。,解 因为,所以,当 时, ,当 时,,所以,曲线在 内是向上凹的,在 内是向上凸的。 有拐点 。,小结:二阶导数为零或二阶导数不存在的点,是可能的拐点; 这类点可能将凹凸区间分开,但不是绝对分开。,如曲线 ,在 内是向上凹的,虽然 但 不是拐点。,微分法作图,曲线的渐近线:如果曲线 上的点M沿曲线离坐标原 点无限远移时,点M与某一条直线L的距离趋于零,则称直线L为 曲线 的一条渐近线。,(1)若 或 则
10、 为曲线的 垂直渐近线。,(2)若 或 则 为曲线的 水平渐近线。,(3)若 ,则 为曲线的斜渐近线。,微分法作图,函数的微分法作图的一般步骤: (1)求出函数f(x)的定义域,确定图形的范围; (2)讨论函数的奇偶性和周期性,确定图形的对称性和周期性; (3)找出渐近线,确定图形的变化趋势; (4)计算函数的一阶、二阶导数,并找出使一阶或二阶导数为 零的点,及一阶或二阶导数不存在的点; (5)将上述点插入到定义域,列表讨论函数的单调性、曲线的 凹凸向,确定函数的极值和曲线的拐点; (6)适当选取一些辅助点,一般常找出曲线和坐标轴的交点; (7)画图。,例4 作函数 的图形。,解 函数的定义域为,函数是奇函数,所以函数的图形关于原点对称。,因为,所以 是曲线的垂直渐近线, 是曲线的 水平渐近线。,又,令,得,当 时, 不存在,所以函数在定义域内单调递增。,列表,画图,