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1、函数的单调性的判别,学习重点,函数极值及最值的确定方法,曲线凹凸向的判别及拐点的确定,函数的单调性,函数单调递增，则,函数单调递减，则,由Lagrange中值定理：,于是有函数单调性的判别定理,函数单调性的判别定理,（1） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递增的。,（2） 如果函数 在 内有 ，则函数在 上是单调递减的。,例1 判别函数 的单调性。,解 因为,所以，函数在 内是单调递增的。,设函数 在 上连续，在 内可导，则,例2 求函数 的单调区间,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数在 及 内单调增加，在 内单调减少。,例3 求函数 的单调区间,解 因为,当 时， 不存在,当
2、 时， ，当 时，,所以，函数在 内单调增加，在 内单调减少。,小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在 的点可将单调区间分开。,例4 求函数 的单调区间,解 因为,列表：,所以，函数在 及 内单调递增，在 内单调递减。,续例4：,小结： 求函数的单调区间的一般方法： （1）求函数的一阶导数； （2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点； （3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号； （4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。,例5 证明不等式,证明 令,则,所以，当 时，不等式 成立。,函数的极值,极值的概念：如果函数 在点 的某邻域内有定义，对于 该邻域内任意异于 点的 ，
3、都有 ，则称 为函数的一个极小值；如果有 ，则称 为函数 的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取 得极值的点称为函数的极值点。,由于函数在不同的区间的单调性不同， 因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数 值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称 之为函数的极大、极小值。,例如,函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性 （1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值； 如函数Y=x 在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。 （2）可以缺少其一； 如 y=x2 在区间 -1，2 内，只有极小值。 （3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数； （4）极值一定在区间内部
4、取得。,函数的极值说明,极值存在的必要条件（费马定理）,如果函数 在点 处可导，且在点 处有极值， 则,导数为零的点称为函数的驻点。,函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。,函数的极值点是驻点或导数不存在的点。,费马定理的逆定理不成立。,极值存在的第一充分条件,设函数 在点 的某个邻域内可导（点 可除外）,则 在点 处取得极大值；,则 在点 处取得极小值；,则 在点 处无极值；,例1 求函数 的极值,解 因为,令,得驻点,列表讨论,所以，函数有极大值 ，有极小值 。,一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。,例2 求函数 的极值,解 因为,当 时， 不存在,
5、当 时， ，当 时，,小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点， 必须按第一充分条件进行判别。,所以，函数有极小值 。,例3 求函数 的极值,解 因为,所以，函数无极值。（虽然有 ）,单调增区间为(-,0)和(1,+) 单调减区间为(0,1),f (0)=0为极大值；f (1)=-1/2 为极小值,练习,解,极值存在的第二充分条件,例4 求函数 的极值,解 因为,所以，函数有驻点,而,所以,所以，函数有极大值 ，有极小值 。,注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时， 使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必 须用第一充分条件判别。,函数的最大值与最小值,由极小值
6、的特性，可知：,极小值 最小值；极大值 最大值,已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在该区间上 一定有最大值和最小值。,求函数最值的一般步骤与方法,（1）求函数的导数；,（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存 在的点；,（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并 比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即 为函数在区间上的最小值。,例5 求函数 在 上的最值。,解 因为,令,得,而,例6（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定： 其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在 多少周后数量最大，其最大数量的多少？,解 因为,令,
7、得,（舍去负值）,由问题的实际意义，可知 时，细菌群体的数量最大，,其数量为,一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值 存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。,例7 某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需 增加准备费1000元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售 率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存 数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费 之和最小？,解 设总费用为y，共分x批生产，由题设可得函数关系,令,得唯一驻点,由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。,曲线的凹凸向及拐点,定义 如果曲
8、线弧总位于它的每一点的切线的上方，则称该 曲线弧是（向上）凹的（concave)； 如果曲线弧总位于它的每 一点的切线的下方，则称该曲线弧是（向上）凸的(convex),凹弧,凸弧,凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。,凹凸弧的判别定理,定理 设函数 在区间 上具有二阶导数 ，则在 该区间上： （1）当 时，曲线弧 是向上凹的； （2）当 时，曲线弧 是向上凸的。,例1 试证明函数 的图形是处处向上凹的。,所以，函数的图形在 内是向上凹的。,证明 函数的定义域为,判断曲线 y=lnx 的凹凸性,内是凸的。,解答,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐
9、点。,令,得,列表,因为,所以，曲线在 及 内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点 及 。,解 函数的定义域为,例2 求曲线 的凹凸区间及拐点。,令,得,因为,例3 求曲线 的凹凸区间及拐点。,解 因为,所以，当 时， ，当 时，,所以，曲线在 内是向上凹的，在 内是向上凸的。 有拐点 。,小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点； 这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。,如曲线 ，在 内是向上凹的，虽然 但 不是拐点。,微分法作图,曲线的渐近线：如果曲线 上的点M沿曲线离坐标原 点无限远移时，点M与某一条直线L的距离趋于零，则称直线L为 曲线 的一条渐近线。,（1）若 或 则
10、 为曲线的 垂直渐近线。,（2）若 或 则 为曲线的 水平渐近线。,（3）若 ，则 为曲线的斜渐近线。,微分法作图,函数的微分法作图的一般步骤： （1）求出函数f(x)的定义域，确定图形的范围； （2）讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性； （3）找出渐近线，确定图形的变化趋势； （4）计算函数的一阶、二阶导数，并找出使一阶或二阶导数为 零的点，及一阶或二阶导数不存在的点； （5）将上述点插入到定义域，列表讨论函数的单调性、曲线的 凹凸向，确定函数的极值和曲线的拐点； （6）适当选取一些辅助点，一般常找出曲线和坐标轴的交点； （7）画图。,例4 作函数 的图形。,解 函数的定义域为,函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称。,因为,所以 是曲线的垂直渐近线， 是曲线的 水平渐近线。,又,令,得,当 时， 不存在,所以函数在定义域内单调递增。,列表,画图,
