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1、内容回顾,二、极限的运算法则,1. 极限的概念 (1) xx0 , (2) x,2.单侧极限,一、极限,=,1. 极限四则运算法则,2. 复合函数极限运算法则,注意使用条件,三、 两个重要极限,四、函数极限的方法,(1) 有理分式函数极限求法,时, 用代入法,( 要求分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,(2) 复合函数极限求法,（变量代换）,(3) 两个重要极限,思考与练习,填空题 ( 14 ),第七节,第二节,极限 (之二),一、无穷小量、无穷大量,二、函数的连续性,本节内容 :,当,一、无穷小量与无穷大量,(1)定义 .,时,则称函数f (x),例
2、如 :,函数1/x,为无穷小;,函数,是当,为,时的无穷小量,的无穷小.,1. 无穷小量,注： 0是无穷小.,无穷小不是一个很小的数., 无穷小必须指明x的趋向.,简称无穷小 .,除0之外，所有的无穷小都是变量；,结论10,证明：,其中 (x)为,时的无穷小量 .,对自变量x的其它变化过程结论仍成立 .,定理. (无穷小与函数极限的关系),由例,得,当x0的无穷小量,性质1: 有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;,性质2:,常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量;,(2) 无穷小量的性质,证明：,注：两个无穷小的商不一定是无穷小.,反例,性质3:,例3.,求,根据性质3，有,是个有界变量,函数x
3、是x0时的无穷小,解：,有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量;,证明：,(3) 无穷小的阶,为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶.,当x0时，x20 比x0 速度“快些”；,反过来，x0 比x20 速度“慢些”；,sinx0 与x0 速度“快慢相仿”.,(3) 无穷小的阶,则称 是比 高阶的无穷小,记,则称 是比 低阶的无穷小;,定义.,为了比较两个无穷小趋于0的速度, 引入无穷小的阶.,则称 与 是同阶无穷小;,则称 是关于 的 q 阶无穷小;,则称 与 等阶无穷小;,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例4. 证明:,证:,目录 上页 下页 返回
4、结束,因此,即有等价关系:,说明: 上述证明过程也给出了等价关系:,当x0时，常用等价无穷小:, 等价无穷小替换定理 ：,且,存在 , 则,证:,例5.,设,(3) 求,解:,因式代替规则:,界, 则,例如,例6(辨析),解:,原式,错误原因: x, sinx不等价于x,和差不能代替,sin不等价于 ;,(1)定义 . 当xx0 (或x) 时,则称函数f (x)为当xx0(或x)时的无穷大,记作,2.无穷大量,若函数f (x)的绝对值,无限增大，,无穷大分两种情况：正无穷大、负无穷大,例如，,(2)无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定
5、理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理. 在自变量的同一变化过程中,说明:,(不存在),内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,4. 无穷小与无穷大的关系,作业 练习题1.2 （P28）2(习题指南)、4,第五节,（等价无穷小替换定理）,3. 无穷小的阶,可见 , 函数,在点,二、 函数连续性的定义,定义1:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,（定义2）,若,在区间
6、(a, b)内每一点都连续 ,则称f (x)在该,区间(a, b)内连续 ,或称它为该区间(a, b)内的连续函数 .,则称f (x)是a, b上的连续函数,记作,若f (x)在区间(a,b)内连续,且在a点右连续,在b点左,连续,在a点右连续,在b点左连续指,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。,例7. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,2. 连续函数的运算法则,定理1. 有限个在某点连续的函数的和 , 差 , 积 ,商,( 利用极限的四则运算法则证明),(分母不为 0),仍是一个在该点连续的函数 .,定理2. 连续函数的复合函
7、数仍是连续函数.,证: 设函数,于是,故复合函数,即,即,函数y =f ( u )在点,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,在区间,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,为连续函数,在点,在,在,三、函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 ，,设,的某去心邻域内有定义 ,若函数f (x),而点,有下列情形之一:,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为f(x)的间断点 .,在,则称函数 f (x) 在点,无定义 ;,为间断点 .,为间断点 .,例如:,(3),为其间断点 .,显然,为其间断点 .,(4),作业,复习题2（P28）. 1, 2, 7,
