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1、应用matlab软件对常微分方程求解,前沿：,科学技术和工程中许多问题是用微分方程的形 式建立数学模型，因此微分方程的求解有很实 际的意义。 一、常微分方程（组）的符号解 二、常微分方程（组）数值解,一、常微分方程（组）的符号解,函数 dsolve 格式： r = dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v),说明 (1)对给定的常微分方程（组）eq1,eq2, 中指定的符号自变量v，与给定的边界条件 和初始条件cond1,cond2,.求符号解（即解析解）r；,(2)若没有指定变量v，则缺省变量为t；,(4)若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果r中会出现任意常数C1，C
2、2，；,(5) dsolve命令最多可以接受12个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于12个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。,(6)若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的sym对象。这时，用户可以用命令ode23或ode45求解方程组的数值解。,例1, dsolve(D2y = -a2*y,y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0,x),ans= cos(a*x), dsolve(D2y = -a2*y, y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0),例2, u,v = dsolve(Du=v
3、,Dv=u),u = C1*exp(-t)+C2*exp(t) V= -C1*exp(-t)+C2*exp(t),二、常微分方程（组）数值解,Matlab专门用于求解常微分方程的函 数，主要采用Runge-Kutta方法： ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb,二、常微分方程（组）数值解,T,Y = solver(odefun,tspan,y0),T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options),T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2),参数说明：,（1
4、）solver为命令 Ode45,ode23,ode113,ode15s, ode23s,ode23t,ode23tb之一。 （2）odefun 为常微分方程y=f(x,y)， 或为包含一混合矩阵的方程(x,y)*y=f(x,y). （3）tspan 积分区间（即求解区间）的向 量tspan=t0,tf。要获得问题在其他指定 时间点t0,t1,t2,上的解，则令 tspan=t0,t1,t2,tf （要求是单调的）。,参数说明：,（4）y0 包含初始条件的向量。 （5）options 用命令odeset设置的可选 积分参数. （6）p1,p2, 传递给函数odefun的可选 参数。,在区间ts
5、pan=t0,tf上，从t0到tf，用 初始条件y0求解显式微分方程y=f(t,y)。 对于标量t与列向量y，函数f=odefun(t,y) 必须返回一f(t,y)的列向量f。 解矩阵Y中的每一行对应于返回的时间列向量T中的一个时间点。 要获得问题在其他指定时间点t0,t1,t2,上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。,T,Y = solver(odefun,tspan,y0),用参数options（用命令odeset生成）设置属性（代替了缺省的积分参数），再进行操作。常用的属性包括相对误差值RelTol（缺省值为1e-3）与绝对误差向量AbsTol（缺省值为每一元素
6、为1e-6）。,T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options),将参数p1,p2,p3,.等传递给函数odefun，再进行计算。若没有参数设置，则令options=。,T,Y =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2),求解具体ODE的基本过程：,（1）根据问题所属学科中的规律、定律、 公式，用微分方程与初始条件进行描述。 F(y,y,y,y(n),t) = 0 y(0)=y0,y(0)=y1,y(n-1)(0)=yn-1 而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)， n与m可以不等,求解具体ODE的基本过程：,（2）运用数学中的
7、变量替换： yn=y(n-1),yn-1=y(n-2),y2=y,y1=y， 把高阶（大于2阶）的方程（组）写成一阶 微分方程组：,（3）根据（1）与（2）的结果，编写能计算 导数的M-函数文件odefile。 （4）将文件odefile与初始条件传递给求解 器Solver中的一个，运行后就可得到ODE 的、在指定时间区间上的解列向量y（其中包含y及不同阶的导数）。,不同求解器Solver的特点,不同求解器Solver的特点,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,参数设置,例3,创建函数function2, 保存在function2.m中function f=function2(t
8、,x) f=-x.2;,在命令窗口中执行 t,x=ode45(function2,0,1,1); plot(t,x,-,t,x,o); xlabel(time t0=0,tt=1); ylabel(x values x(0)=1);,例4,创建函数function3,保存在function3.m中： function f=function3(t,x) f=x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;. -x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t;,运行命令文件runf3.m t,x=ode45(function3,0,20,30;20); plot(t,x); xlabel(time t0=0,tt=20); ylabel(x values x1(0)=30,x2(0)=20);,例5,创建函数function4，存在function4.m中 function f = function4(t,x) global U f = x(2);U*(1-x(1)2)*x(2)-x(1);,再运行命令文件runf4.m： global U U = 7; Y0=1;0; t,x = ode45(function4,0,40,Y0); x1=x(:,1);x2=x(:,2); plot(t,x1,t,x2),
