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1、计量经济模型与经济预测,福州大学管理学院 林筱文教授编 联系电话：0591-3710642；7937642,一、线性回归模型,最小二方程原理和参数估计 =a+bx y Q=(y- ) 最小 =(y-a-bx)2 最小 对a和b求一阶微分 2Q/2A=2 (y-a-bx)(-a)=0 2Q/2B= 2 (y-a-bx)(-bx)=0 x 得: y-na-b x=0 y=na+bx=0 xy-ax-bx2=0 xy=ax+bx2=0 得： a= y/n-b (y/n) b= xy- (x) (y) /n/ x2-(x)2=Lxy/Lxx 回归系数b说明当x变动一个单位时，y平均变动一个b的值,回归
2、误差估计和相关系数 估计标准误差： Sy= (y- )2/(n-2) = (y2-a y-b xy)/n-2 相关系数： R=Lxy/ LxxLyy Lxy= xy- (x y)/n Lxx= x2-(x)2/n Lyy= y2- (y)2/n,线性回归模型预测,当计算回归模型由大样本计算时（n30)，其预测区间的误差分布服从正态分布，则预测区间为： 0=(a+bx0) (Z2/2)Sy 当计算回归模型由小样本计算时（n30),其预测区间的误差分布服从七分布，则预测区间为： 0 =（a+ bx0) (Ta/2) Sy 1+1/n+(X0-X)2/ (X-X)2,例：,解： b338.41/6(
3、23)(86.5)/95-1/6(23)2=0.998 a86.5/60.998(23/6)=10.59 待线性回归方程： 10.59+0.998x 即建筑面程每增加一万m2，建造成本要平均增加0.998万元 Sy= (y- )2/(n-2)= 0.0181924/(6-2)=0.2133 r=Lxy/ LxxLyy = (xy- x y/n)/ x2-(x)2/ny2-(y)2/n =0.973 预测：假设x0=4.5时，y0=10.59+0.9984.5=15.081(万元），当n=630时，查七分布表ta/2(n-2)=t(0.025)(4)2.78 ta/2(n-2) Sy 1+1/n
4、+(x0-x)2/ (x-x)2=0.6579 所以建造成本的区间预测在显著性水平为a=5%，即以95%的概率计算y0=15.0810.6579，即在14.423115.7389万元之间,二、非线性回归模型曲线回归模型,在对客观现象选择回归模型时，应注意： 1、回归方程的形式应与经济学的基本理论相一致，应该在定性分析和定量分析的基础上选择适当的回归模型 2、回归方程与实际现象的变量值应要有较高的拟合程度，能较好地反映经济实际运行趋势 3、在对方程的模型一时无法判断时，可先画散点图，观察现象实际值的变动趋势，来选择相应的拟合回归模型。或者多选择几个回归模型，加以拟合，分别计算估计标准误差，选择估
5、计标准误差最小的那个回归模型 4、回归模型的数学形式要尽可能简单，一般说来，数字型式越简单，则基回归模型的可操作性越强。过于复杂的回归模型的数学形式在实际经济分析和经济预测中，其实际应用价值不大,抛物线方程： =a+bx+cx2 根据最小二乘法原理，求该方程待定a、b、c参数的方程组如下： y=na+b x+c x2 y xy=a x+b x2+c x3 x2y=a x2+b x3+C x4 x 判定某变量趋势是否符合抛物线议程时，可利用差分法： 1、当X以一个常数变化时，Y的一阶差分即Y=Yt-Yt-1的绝对值也接近一个常数时，该变量的变化可用直线方程来拟合。 2、当X从一个常数变化时，Y的
6、二阶差分即Y2t= Yt- Yt-1的绝对值接近一个常数时，该变量的变化可用抛物线方程来拟合。,抛物线方程,指数曲线方程,该方程常用于拟合某变量值的环比，即Yt/Yt-1的绝对值近似于一个常数时，就可用指数曲线方程来拟合。 =abx 对方程两边求对数： lgy=lga+lgbx 换元令lgy=Y lga=A lgb=B 得： Y=A+Bx，化成直线方程的形式，求出A、B的参数值，再分别求反对数，就可求出a、b的参数值， 指数曲线因a、b的取值不同而表现出不同的变化形式： x x x x y y y y,对数函数曲线,=a+blnx,令x=lnx，把方程变成直线方程的形式，求出a、b的参数值。
7、对数函数的特点是随着x的增大，x的单位变动对Y的影响效果递减。,S函数曲线（逻辑曲线）, =1/a+be-x y 换元令y=1/y, x=e-x 得y=a+bx化成直线方程的形式 p 可求出a、b的参考值。该方程的 特点是某变量刚开始时，随着X x 的增加，y的增长速度逐渐增加， I II III IV 当y达到一定水平时，其增长速度又放慢，最后超近于 一条渐近线。该方程经常用来描述某消费品的生命周期的变化，可将其分为四个阶段，即缓慢增长快速增长增速放慢相对饱和p为一拐点。,三、多元回归模型,模型与参数估计 =a+bx1+cx2+dx3+. 多元回归就是分析在多个自变量（x)与因变量（y)相互
8、关系的基础上，确定一个多元回归模型，然后根据各个自变量的变动来估计或预测因变量的变动程度。 根据最小二乘法原理，以二元回归方程为例，说明求其参数的方法： =a+ bx1+cx2 y=na+bx1+cx2 x1y= ax1 +bx12 +c x1 x2 x2y= ax2 +b x1 x2 +cx22,例：根据下表计算二元回归方程,将上述有关数字代入二元回归的方程组：,986=7a+3622b+2472c 501415=3622a+1877174b+1281444c 341923=2472a+1281444b875116c 得：a=-5.0657 b=1.0072 c=-1.0698 二元回归方程
9、： =-5.0657+1.0072x1-1.0698x2,多元回归方程的矩阵形式,二元回归方程的矩阵形式表现为： Y=XB 其中： y1 1 x21 xk1 b1 y2 1 x22 xk2 b2 Y= X= B= yn 1 x2n xkn bn 按矩阵计算原理： Y=XBXY=XXB (XX)-1XY=(XX)-1(XX)B B=(XX)-1XY,例：下表列出某商品销售量（Y）与居民人均收入（x1）和单价（x2）的有关资料。,上表中有关数据的矩阵表示为：,1 5 2 10 b1 10 98 35 X= 1 7 3 Y= 10 B= b2 (xx)= 98 1038 359 35 359 133
10、 1 15 4 23 b3 166 1.6416 -0.0839 -0.2054 (xy)= 1743 (xx)-1 = -0.0839 0.0188 -0.0286 592 -0.2054 -0.0286 0.1389 1.6416 -0.0839 -0.2054 166 4.58751 B= (xx)-1xy= -0.0839 0.0188 -0.0286 1743 = 1.86847 -0.2054 -0.0286 0.1389 592 -1.79957 由此得多元回归方程为： =4.58751+1.86847x1-1.79957x2,回归方程的方差估计,Sy2=(y- )2/(n-k)
11、= e2/(n-k) e2=ee=YY-BXY=2980-4.58751166-1.86847 1743+1.79957+1.79957 592=27.08 e2 27.08 S= S2 = n-k = 10-3 = 3.8686 =1.97 S称为回归方程的估计标准误差，S越小 则表明样本回归方程的代表性越强,多元回归方程的检验,根据线性方程方差分析的原理： （y-y)2= （-y)2+ （y-)2 (y- ) (y-y) S总=S回+S残 (-y) y 1.回归方程拟合程度检验 在回归方程拟合程度检验中，应用可决系数指标来回加以检验，可决系数越大，说明回归方程对实际数值的拟合程度越好 R2
12、= (-y)2/ (y-y)2= S回/ S总=1- S残/ S总 在考虑变量自由度的情况下，修正的可决系数： R2= S回/（n-k)/ S总/(n-1)=1- S残/(n-k)/ S总/(n-1) =1-27.08/(10-3)/244.4/(10-1)=0.84,2.回归系数的显著性检验,在这一检验的目的是为了检验各回归系数对应的自变量（x i)对因变量（y）的影响是否显著，以便对各个自变量的选择作出正确的判断。一般说来，当某个自变量（x i)的回归系数（b i)的显著性检验无法通过，则说明该自变量对因变量的影响在一定显著水平（一般 a=0.05)不够显著，则就可以将该自变量从回归模型中
13、删除，这样才能以尽可能少的自变量去建立回归模型，达到到尽可能高的拟合度，同时也可减少计算工作量 多元回归模型中的回归系数检验采用t检验，公式如下： tbj=bj/sbj sbj= sy2jj=sy jj 式中jj为（xx)-1矩阵中的第j个对角线的元素，上例中Sy=1.97; 11=1.6416; 22=0.0188; 33=0.1389 则tb1=4.5875/(1.97 1.6416 )=1.82 tb2=1.8685/(1.97 0.0188 )=6.92 tb3=-1.7996/(1.97 0.1398 )=-2.45,查t分布表（a=0.05），双侧临界值t(a/2)（n-k)=t(
14、0.05/2)(10-3)=2.365，上述tb2=6.922.365,tb3= -2.45 2.365，说明b1和b2均能通过检验，说明x1和x2对y的影响是显著的，而tb1=1.822.365，不能通过检验，说明在建立回归方程时，不必设常数项，由此再根据实际资料，建立拟合的多元回归方程。 3.回归方程的显著性检验 该检验应用下检验来进行： F=S回/(k-1)S残/(n-k)，上例中S总=224.4， S残=27.08 S回= S总- S残=224.4-27.08=197.32 则F=197.32/(3-1)/27.08(10-3)=25.50查F分布表，当a=0.01，自由度为（2.7）时，F2=9.55，当a=0.05，自由度为（2.7）时，Fa=4.74，可知F=25.50都大于Fa，说明该多元回归方程是比较显著的，可以用该方程进行经济预测。设x1=2200元，x2=50元/件时，对某商品需求量（y）的预测值为y=4.5875+1.868522+(-1.7996) 5=36.70(百件）,多元回归方程的多重共线性问题,在多元回归模型中，要求模型中任何自变量之间不存在密切的线性相关关系存在，则说明自变量之间存在多重共线性。 1.多重共线
